次の4つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int x \sin x dx$ (2) $\int x \cos 2x dx$ (3) $\int x e^x dx$ (4) $\int x e^{-x} dx$

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int x \sin x dx$

(2) $\int x \cos 2x dx$

(3) $\int x e^x dx$

(4) $\int x e^{-x} dx$

2. 解き方の手順

各問題に対して、部分積分法を用いて解きます。部分積分法は、$\int u dv = uv - \int v du$ で表されます。

(1) $\int x \sin x dx$

$u = x$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

したがって、

$\int x \sin x dx = -x \cos x - \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \int \cos x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int x \cos 2x dx$

$u = x$, $dv = \cos 2x dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2} \sin 2x$ となります。

したがって、

$\int x \cos 2x dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} (-\frac{1}{2} \cos 2x) + C = \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(3) $\int x e^x dx$

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

したがって、

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

(4) $\int x e^{-x} dx$

$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

したがって、

$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \sin x dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int x \cos 2x dx = \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(3) $\int x e^x dx = (x-1)e^x + C$

(4) $\int x e^{-x} dx = -(x+1)e^{-x} + C$