以下の2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{-3}^{3} (2x+1)(x-1)(3x-2) \, dx$ (2) $\int_{2}^{3} (2x-5)^6 \, dx$

1. 問題の内容

以下の2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{-3}^{3} (2x+1)(x-1)(3x-2) \, dx$

(2) $\int_{2}^{3} (2x-5)^6 \, dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、被積分関数を展開します。

$(2x+1)(x-1)(3x-2) = (2x^2 - 2x + x - 1)(3x-2) = (2x^2 - x - 1)(3x-2) = 6x^3 - 4x^2 - 3x^2 + 2x - 3x + 2 = 6x^3 - 7x^2 - x + 2$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-3}^{3} (6x^3 - 7x^2 - x + 2) \, dx = \int_{-3}^{3} 6x^3 \, dx - \int_{-3}^{3} 7x^2 \, dx - \int_{-3}^{3} x \, dx + \int_{-3}^{3} 2 \, dx$

奇関数である$6x^3$と$x$の積分は、積分区間が$-3$から$3$なので0になります。

$\int_{-3}^{3} 6x^3 \, dx = 0$

$\int_{-3}^{3} x \, dx = 0$

したがって、

$\int_{-3}^{3} (6x^3 - 7x^2 - x + 2) \, dx = - \int_{-3}^{3} 7x^2 \, dx + \int_{-3}^{3} 2 \, dx = -7 \int_{-3}^{3} x^2 \, dx + 2 \int_{-3}^{3} 1 \, dx$

偶関数である$x^2$について、

$\int_{-3}^{3} x^2 \, dx = 2 \int_{0}^{3} x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = 2 \cdot \frac{3^3}{3} = 2 \cdot 9 = 18$

$\int_{-3}^{3} 1 \, dx = [x]_{-3}^{3} = 3 - (-3) = 6$

したがって、

$\int_{-3}^{3} (6x^3 - 7x^2 - x + 2) \, dx = -7 \cdot 18 + 2 \cdot 6 = -126 + 12 = -114$

(2) $(2x-5)^6$の積分を計算します。

$u = 2x-5$とおくと、$du = 2 \, dx$より、$dx = \frac{1}{2} \, du$

積分区間は、$x=2$のとき$u = 2(2) - 5 = -1$、$x=3$のとき$u = 2(3) - 5 = 1$

したがって、

$\int_{2}^{3} (2x-5)^6 \, dx = \int_{-1}^{1} u^6 \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} u^6 \, du$

$u^6$は偶関数なので、

$\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} u^6 \, du = \frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} u^6 \, du = \int_{0}^{1} u^6 \, du = \left[ \frac{u^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1^7}{7} - \frac{0^7}{7} = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) -114

(2) $\frac{1}{7}$