与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の5つの極限を計算します。 (1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$ (2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$ (3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{2n} - 1}{3^n + 5}$ (4) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n - (-3)^{n+1}}{(-3)^n + 2^n}$ (5) $\lim_{n\to\infty} \{(-3)^n - 5^n\}$

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の5つの極限を計算します。

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{2n} - 1}{3^n + 5}$

(4) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n - (-3)^{n+1}}{(-3)^n + 2^n}$

(5) $\lim_{n\to\infty} \{(-3)^n - 5^n\}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n\to\infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5}{2^n + 3}$

分子と分母を $2^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{3 - \frac{5}{2^n}}{1 + \frac{3}{2^n}}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{5}{2^n} \to 0$ および $\frac{3}{2^n} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{3 - \frac{5}{2^n}}{1 + \frac{3}{2^n}} = \frac{3-0}{1+0} = 3$

(2) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n}{3^n - 4}$

分子と分母を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 - \frac{4}{3^n}}$

$n \to \infty$ のとき $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ および $\frac{4}{3^n} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 - \frac{4}{3^n}} = \frac{0}{1-0} = 0$

(3) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^{2n} - 1}{3^n + 5}$

$2^{2n} = (2^2)^n = 4^n$ と書き換えて、分子と分母を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{4^n}{3^n} - \frac{1}{3^n}}{1 + \frac{5}{3^n}}$

$\lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^n - \frac{1}{3^n}}{1 + \frac{5}{3^n}}$

$n \to \infty$ のとき $\left(\frac{4}{3}\right)^n \to \infty$ および $\frac{1}{3^n} \to 0$, $\frac{5}{3^n} \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{4}{3}\right)^n - \frac{1}{3^n}}{1 + \frac{5}{3^n}} = \infty$

(4) $\lim_{n\to\infty} \frac{2^n - (-3)^{n+1}}{(-3)^n + 2^n}$

分子と分母を $(-3)^n$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2^n}{(-3)^n} - (-3)}{\frac{(-3)^n}{(-3)^n} + \frac{2^n}{(-3)^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n + 3}{1 + \left(-\frac{2}{3}\right)^n}$

$n \to \infty$ のとき $\left(-\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n + 3}{1 + \left(-\frac{2}{3}\right)^n} = \frac{0+3}{1+0} = 3$

(5) $\lim_{n\to\infty} \{(-3)^n - 5^n\}$

$5^n$ でくくります。

$\lim_{n\to\infty} 5^n \left\{ \left(-\frac{3}{5}\right)^n - 1 \right\}$

$n \to \infty$ のとき $\left(-\frac{3}{5}\right)^n \to 0$ なので、

$\lim_{n\to\infty} 5^n \left\{ \left(-\frac{3}{5}\right)^n - 1 \right\} = \lim_{n\to\infty} 5^n (-1) = -\infty$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 0

(3) $\infty$

(4) 3

(5) $-\infty$