$y = \tan^{-1} x$ のマクローリン展開を2次の項まで求める問題です。

1. 問題の内容

$y = \tan^{-1} x$ のマクローリン展開を2次の項まで求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、$x=0$ におけるテイラー展開です。

関数 $f(x)$ のマクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

で与えられます。今回は2次の項までなので、$x^2$ の項まで求めます。

まず、$f(x) = \tan^{-1} x$ とおきます。

$f(0) = \tan^{-1} 0 = 0$

次に、導関数を求めます。

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$

さらに、2階導関数を求めます。

$f''(x) = \frac{d}{dx} (\frac{1}{1+x^2}) = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}$

$f''(0) = \frac{-2(0)}{(1+0^2)^2} = 0$

したがって、マクローリン展開の2次の項までの近似は、

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = 0 + 1\cdot x + \frac{0}{2}x^2 = x$

3. 最終的な答え

$x$