以下の3つの逆三角関数の値を求める問題です。 (1) $\arccos(\frac{1}{2})$ (2) $\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{6}))$ (3) $\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5}))$

1. 問題の内容

以下の3つの逆三角関数の値を求める問題です。

(1) $\arccos(\frac{1}{2})$

(2) $\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{6}))$

(3) $\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5}))$

2. 解き方の手順

(1) $\arccos(\frac{1}{2})$ の計算

$\arccos(x)$ は、$\cos(\theta) = x$ となる $\theta$ の値を求める関数です。ここで、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$ です。

$\cos(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{3}$ です。

(2) $\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{6}))$ の計算

$\arcsin(x)$ は、$\sin(\theta) = x$ となる $\theta$ の値を求める関数です。ここで、$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ です。

まず、$\sin(\frac{7\pi}{6})$ を計算します。

$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ であるので、$\sin(\frac{7\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、$\arcsin(\sin(\frac{7\pi}{6})) = \arcsin(-\frac{1}{2})$ となります。

$\sin(\theta) = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = -\frac{\pi}{6}$ です。

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}$ であるので、$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ です。

(3) $\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5}))$ の計算

まず、$\cos(\frac{16\pi}{5})$ を計算します。

$\frac{16\pi}{5} = 3\pi + \frac{\pi}{5}$ であるので、$\cos(\frac{16\pi}{5}) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{5}) = \cos(\pi + 2\pi + \frac{\pi}{5}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5})$ です。

したがって、$\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5})) = \arcsin(-\cos(\frac{\pi}{5}))$ となります。

$\cos(\theta) = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ であることを利用すると、$-\cos(\frac{\pi}{5}) = -\sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = -\sin(\frac{3\pi}{10}) = \sin(-\frac{3\pi}{10})$ となります。

$\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5})) = \arcsin(\sin(-\frac{3\pi}{10}))$ となります。

$-\frac{\pi}{2} \le -\frac{3\pi}{10} \le \frac{\pi}{2}$ であるので、$\arcsin(\sin(-\frac{3\pi}{10})) = -\frac{3\pi}{10}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{3}$

(2) $-\frac{\pi}{6}$

(3) $-\frac{3\pi}{10}$