次の不定積分を求めます。 $\int (x+2)\sqrt{x-1}dx$

## (1)の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int (x+2)\sqrt{x-1}dx$

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{x-1}$ と置換します。すると、$t^2 = x-1$ となり、$x = t^2 + 1$、$dx = 2t dt$ となります。

与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int (x+2)\sqrt{x-1}dx = \int (t^2+1+2)t(2t)dt = \int (t^2+3)t(2t)dt = 2\int (t^2+3)t^2 dt = 2\int (t^4 + 3t^2)dt$

積分を実行します。

$2\int (t^4 + 3t^2)dt = 2\left(\frac{1}{5}t^5 + t^3\right) + C = \frac{2}{5}t^5 + 2t^3 + C$

ここで、$t = \sqrt{x-1}$ を代入します。

$\frac{2}{5}t^5 + 2t^3 + C = \frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + 2(x-1)^{3/2} + C$

共通因子$(x-1)^{3/2}$でまとめます。

$\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + 2(x-1)^{3/2} + C = \frac{2}{5}(x-1)^{3/2}(x-1+5) + C = \frac{2}{5}(x-1)^{3/2}(x+4) + C$

3. 最終的な答え

$\int (x+2)\sqrt{x-1}dx = \frac{2}{5}(x+4)(x-1)^{3/2} + C$

## (2)の問題

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int \frac{2x}{\sqrt{x-1}}dx$

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{x-1}$ と置換します。すると、$t^2 = x-1$ となり、$x = t^2 + 1$、$dx = 2t dt$ となります。

与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int \frac{2x}{\sqrt{x-1}}dx = \int \frac{2(t^2+1)}{t}2t dt = 4\int (t^2+1)dt$

積分を実行します。

$4\int (t^2 + 1)dt = 4\left(\frac{1}{3}t^3 + t\right) + C = \frac{4}{3}t^3 + 4t + C$

ここで、$t = \sqrt{x-1}$ を代入します。

$\frac{4}{3}t^3 + 4t + C = \frac{4}{3}(x-1)^{3/2} + 4\sqrt{x-1} + C$

共通因子$4\sqrt{x-1}$でまとめます。

$\frac{4}{3}(x-1)^{3/2} + 4\sqrt{x-1} + C = 4\sqrt{x-1}\left(\frac{1}{3}(x-1) + 1\right) + C = 4\sqrt{x-1}\left(\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}\right) + C = \frac{4}{3}(x+2)\sqrt{x-1} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{2x}{\sqrt{x-1}}dx = \frac{4}{3}(x+2)\sqrt{x-1} + C$