次の2つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int (x+2)\sqrt{x-1} \, dx$ (2) $\int \frac{2x}{\sqrt{x-1}} \, dx$

1. 問題の内容

次の2つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int (x+2)\sqrt{x-1} \, dx$

(2) $\int \frac{2x}{\sqrt{x-1}} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (x+2)\sqrt{x-1} \, dx$

$t = \sqrt{x-1}$ と置換します。すると、$t^2 = x-1$ より、$x = t^2 + 1$ となり、$dx = 2t \, dt$ となります。

これらを積分に代入すると、

$\int (t^2+1+2)t \cdot 2t \, dt = \int (t^2+3)t \cdot 2t \, dt = 2 \int (t^4+3t^2) \, dt$

$= 2 \left( \frac{t^5}{5} + t^3 \right) + C = \frac{2}{5} t^5 + 2t^3 + C$

ここで、$t = \sqrt{x-1}$ を代入すると、

$\frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + 2(x-1)^{3/2} + C$

$= \frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{10}{5}(x-1)^{3/2} + C = \frac{2}{5} (x-1)^{3/2} (x-1+5) + C$

$= \frac{2}{5} (x-1)^{3/2} (x+4) + C$

(2) $\int \frac{2x}{\sqrt{x-1}} \, dx$

$t = \sqrt{x-1}$ と置換します。すると、$t^2 = x-1$ より、$x = t^2 + 1$ となり、$dx = 2t \, dt$ となります。

これらを積分に代入すると、

$\int \frac{2(t^2+1)}{t} \cdot 2t \, dt = 4 \int (t^2+1) \, dt = 4 \left( \frac{t^3}{3} + t \right) + C$

$= \frac{4}{3} t^3 + 4t + C$

ここで、$t = \sqrt{x-1}$ を代入すると、

$\frac{4}{3} (x-1)^{3/2} + 4 \sqrt{x-1} + C = \frac{4}{3} (x-1)^{3/2} + \frac{12}{3} \sqrt{x-1} + C$

$= \frac{4}{3} \sqrt{x-1} (x-1+3) + C = \frac{4}{3} \sqrt{x-1} (x+2) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5}(x+4)(x-1)^{3/2} + C$

(2) $\frac{4}{3}(x+2)\sqrt{x-1} + C$