$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{\tan^2 x} = \cot^2 x$ であることを利用します。

$\cot^2 x$ を $\csc^2 x$ を用いて書き換えます。三角関数の恒等式 $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x$ より、$\cot^2 x = \csc^2 x - 1$ となります。

したがって、

$$\int \frac{1}{\tan^2 x} dx = \int \cot^2 x dx = \int (\csc^2 x - 1) dx$$

$\int \csc^2 x dx = -\cot x + C$ および $\int 1 dx = x + C$ を用いると、

$$\int (\csc^2 x - 1) dx = \int \csc^2 x dx - \int 1 dx = -\cot x - x + C$$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-\cot x - x + C$