関数 $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ のマクローリン展開を2次の項まで求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ のマクローリン展開を2次の項まで求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数を $x=0$ の周りでテイラー展開することです。すなわち、

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots$

ここで、$y = f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} = (1-x)^{-1/2}$ とおきます。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = (1-0)^{-1/2} = 1$

次に、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = (-\frac{1}{2})(1-x)^{-3/2}(-1) = \frac{1}{2}(1-x)^{-3/2}$

よって、$f'(0) = \frac{1}{2}(1-0)^{-3/2} = \frac{1}{2}$

次に、$f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = \frac{1}{2}(-\frac{3}{2})(1-x)^{-5/2}(-1) = \frac{3}{4}(1-x)^{-5/2}$

よって、$f''(0) = \frac{3}{4}(1-0)^{-5/2} = \frac{3}{4}$

したがって、マクローリン展開の2次の項までの近似は、

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3/4}{2}x^2 = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$

3. 最終的な答え

$y \approx 1 + \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$