与えられた12個の関数について、それぞれ微分を計算します。

了解しました。画像にある関数の微分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた12個の関数について、それぞれ微分を計算します。

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順に従って微分を求めます。

(1) $y = 2x - \cos x$

$dy/dx = 2 - (-\sin x) = 2 + \sin x$

(2) $y = \sin x - \tan x$

$dy/dx = \cos x - \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x - \sec^2 x$

(3) $y = \cos(2x - 1)$

$dy/dx = -\sin(2x - 1) \cdot 2 = -2\sin(2x - 1)$

(4) $y = \tan 3x$

$dy/dx = \frac{1}{\cos^2 3x} \cdot 3 = 3\sec^2 3x$

(5) $y = \sin x^2$

$dy/dx = \cos x^2 \cdot 2x = 2x \cos x^2$

(6) $y = \tan x^2$

$dy/dx = \sec^2 x^2 \cdot 2x = 2x \sec^2 x^2$

(7) $y = 2x \sin x$

$dy/dx = 2 \sin x + 2x \cos x = 2(\sin x + x \cos x)$

(8) $y = \cos^3 x$

$dy/dx = 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$

(9) $y = \frac{1}{\cos x} = \sec x$

$dy/dx = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec x \tan x$

(10) $y = \sin^2 2x$

$dy/dx = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x \cdot 2 = 4 \sin 2x \cos 2x = 2 \sin 4x$

(11) $y = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$dy/dx = \frac{1}{2} \cos 2x \cdot 2 = \cos 2x$

(12) $y = \sin 3x \cos 5x$

積和の公式より,

$y = \frac{1}{2}(\sin(3x+5x) + \sin(3x-5x))$

$y = \frac{1}{2}(\sin(8x) - \sin(2x))$

$dy/dx = \frac{1}{2}(8\cos 8x - 2\cos 2x) = 4\cos 8x - \cos 2x$

3. 最終的な答え

(1) $dy/dx = 2 + \sin x$

(2) $dy/dx = \cos x - \sec^2 x$

(3) $dy/dx = -2\sin(2x - 1)$

(4) $dy/dx = 3\sec^2 3x$

(5) $dy/dx = 2x \cos x^2$

(6) $dy/dx = 2x \sec^2 x^2$

(7) $dy/dx = 2(\sin x + x \cos x)$

(8) $dy/dx = -3 \cos^2 x \sin x$

(9) $dy/dx = \sec x \tan x$

(10) $dy/dx = 2 \sin 4x$

(11) $dy/dx = \cos 2x$

(12) $dy/dx = 4\cos 8x - \cos 2x$