与えられた関数を微分する問題です。 (7) $y = \frac{e^x}{x^2}$ (8) $y = \frac{x}{e^x}$ (9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}$ (10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}}$

はい、承知いたしました。画像にある問題 (7), (8), (9), (10) のそれぞれについて、微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$

(8) $y = \frac{x}{e^x}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}}$

2. 解き方の手順

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = e^x$ , $v = x^2$ とすると、$u' = e^x$, $v' = 2x$ なので、

$y' = \frac{e^x \cdot x^2 - e^x \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x^2e^x - 2xe^x}{x^4} = \frac{xe^x(x-2)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

(8) $y = \frac{x}{e^x}$ の微分

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = x$ , $v = e^x$ とすると、$u' = 1$, $v' = e^x$ なので、

$y' = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1-x)}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}$ の微分

まず、$y = \frac{1}{e^{\frac{x}{3}}} = e^{-\frac{x}{3}}$ と変形します。

$y' = -\frac{1}{3} e^{-\frac{x}{3}} = -\frac{1}{3} \frac{1}{e^{\frac{x}{3}}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}}$ の微分

まず、$y = \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}}$と変形します。商の微分公式$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$を用います。

$u = x$, $v = e^{\frac{x}{2}}$とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$なので、

$y' = \frac{1 \cdot e^{\frac{x}{2}} - x \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}}{(e^{\frac{x}{2}})^2} = \frac{e^{\frac{x}{2}} - \frac{x}{2}e^{\frac{x}{2}}}{e^x} = \frac{e^{\frac{x}{2}}(1 - \frac{x}{2})}{e^x} = \frac{1 - \frac{x}{2}}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{2-x}{2e^{\frac{x}{2}}} = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$

3. 最終的な答え

(7) $y' = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$

(8) $y' = \frac{1-x}{e^x}$

(9) $y' = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y' = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$