$\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5}))$ を計算します。

1. 問題の内容

$\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5}))$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(\frac{16\pi}{5})$ の値を求めます。

$\frac{16\pi}{5} = \frac{15\pi + \pi}{5} = 3\pi + \frac{\pi}{5}$ と変形できます。

$\cos(3\pi + \frac{\pi}{5}) = \cos(\pi + 2\pi + \frac{\pi}{5}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5})$ となります。

次に、$\cos(\frac{\pi}{5})$ の値を計算します。

$\cos(\frac{\pi}{5}) = \cos(36^\circ) = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ です。

したがって、$\cos(\frac{16\pi}{5}) = -\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ となります。

ここで、$\arcsin(x)$ の値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ であることに注意します。

$\arcsin(-\frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ を計算します。

$\sin(-\frac{3\pi}{10}) = -\sin(\frac{3\pi}{10}) = -\sin(54^\circ) = -\cos(36^\circ) = -\frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ です。

したがって、$\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5})) = \arcsin(-\frac{1 + \sqrt{5}}{4}) = -\frac{3\pi}{10}$ となります。

$\cos(\frac{16\pi}{5}) = \cos(3\pi + \frac{\pi}{5}) = -\cos(\frac{\pi}{5})$

$\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1+\sqrt{5}}{4}$

$\arcsin(\cos(\frac{16\pi}{5})) = \arcsin(-\frac{1+\sqrt{5}}{4})$

$\sin(-\frac{3\pi}{10}) = -\sin(\frac{3\pi}{10}) = -\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3\pi}{10}$