次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = e^{3x}$ (2) $y = xe^x$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = e^{3x}$

(2) $y = xe^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x}$ の微分

合成関数の微分を使います。$u = 3x$ とおくと、$y = e^u$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$

$\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x}$

(2) $y = xe^x$ の微分

積の微分法を使います。積の微分法は、関数 $u(x)$ と $v(x)$ に対して、

$(uv)' = u'v + uv'$

です。

$u = x$ と $v = e^x$ とすると、

$u' = 1$

$v' = e^x$

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 3e^{3x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = (x+1)e^x$