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次の極限値を求めます。 (1) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}$ (2) $\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}$ (3) $\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2}$

解析学極限三角関数ロピタルの定理
2025/6/7

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。
(1) lim⁡θ→0sin⁡3θ2θ\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}
(2) lim⁡θ→0θsin⁡3θ\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}
(3) lim⁡θ→01−cos⁡3θθ2\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2}

2. 解き方の手順

(1) lim⁡θ→0sin⁡3θ2θ\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta}
sin⁡xx\frac{\sin x}{x} の極限を利用するために、33\frac{3}{3} を掛けます。
lim⁡θ→0sin⁡3θ2θ=lim⁡θ→0sin⁡3θ3θ⋅3θ2θ=lim⁡θ→0sin⁡3θ3θ⋅32\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{2\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3\theta}{2\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2}
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 であるから、
lim⁡θ→0sin⁡3θ3θ⋅32=1⋅32=32\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 3\theta}{3\theta} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
(2) lim⁡θ→0θsin⁡3θ\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta}
sin⁡xx\frac{\sin x}{x} の極限を利用するために、33\frac{3}{3} を掛けます。
lim⁡θ→0θsin⁡3θ=lim⁡θ→03θsin⁡3θ⋅13\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin 3\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{3\theta}{\sin 3\theta} \cdot \frac{1}{3}
lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 より、lim⁡x→0xsin⁡x=1\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 であるから、
lim⁡θ→03θsin⁡3θ⋅13=1⋅13=13\lim_{\theta \to 0} \frac{3\theta}{\sin 3\theta} \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}
(3) lim⁡θ→01−cos⁡3θθ2\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2}
1−cos⁡x=2sin⁡2x21 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} の公式を利用します。
lim⁡θ→01−cos⁡3θθ2=lim⁡θ→02sin⁡23θ2θ2\lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos 3\theta}{\theta^2} = \lim_{\theta \to 0} \frac{2 \sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2}
=lim⁡θ→02⋅sin⁡23θ2θ2=2lim⁡θ→0(sin⁡3θ2θ)2= \lim_{\theta \to 0} 2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{3\theta}{2}}{\theta^2} = 2 \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\theta} \right)^2
sin⁡xx\frac{\sin x}{x} の極限を利用するために、32⋅32\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} を掛けます。
=2lim⁡θ→0(sin⁡3θ23θ2⋅32)2=2(lim⁡θ→0sin⁡3θ23θ2⋅lim⁡θ→032)2= 2 \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \cdot \frac{3}{2} \right)^2 = 2 \left( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \frac{3\theta}{2}}{\frac{3\theta}{2}} \cdot \lim_{\theta \to 0} \frac{3}{2} \right)^2
=2(1⋅32)2=2⋅94=92= 2 \left( 1 \cdot \frac{3}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}

3. 最終的な答え

(1) 32\frac{3}{2}
(2) 13\frac{1}{3}
(3) 92\frac{9}{2}

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