次の関数を微分せよ。 (1) $y = e^{3x}$ (2) $y = xe^x$ (3) $y = e^x \cos x$ (4) $y = e^x \tan x$ (5) $y = e^{2x} \sin 3x$ (6) $y = e^{2x} \tan 3x$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = e^{3x}$

(2) $y = xe^x$

(3) $y = e^x \cos x$

(4) $y = e^x \tan x$

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x}$ の微分

合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いる。

$u = 3x$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{du} = e^u$, $\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot 3 = 3e^{3x}$

(2) $y = xe^x$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x$, $v = e^x$ とおくと、$u' = 1$, $v' = e^x$。

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (1+x)e^x$

(3) $y = e^x \cos x$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用いる。

$u = e^x$, $v = \cos x$ とおくと、$u' = e^x$, $v' = -\sin x$。

$\frac{dy}{dx} = e^x \cos x + e^x (-\sin x) = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $y = e^x \tan x$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用いる。

$u = e^x$, $v = \tan x$ とおくと、$u' = e^x$, $v' = \frac{1}{\cos^2 x}$。

$\frac{dy}{dx} = e^x \tan x + e^x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = e^x(\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用いる。

$u = e^{2x}$, $v = \sin 3x$ とおくと、$u' = 2e^{2x}$, $v' = 3\cos 3x$。

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} \cdot 3\cos 3x = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$ を用いる。

$u = e^{2x}$, $v = \tan 3x$ とおくと、$u' = 2e^{2x}$, $v' = \frac{3}{\cos^2 3x}$。

$\frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \tan 3x + e^{2x} \cdot \frac{3}{\cos^2 3x} = e^{2x}(2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

3. 最終的な答え

(1) $3e^{3x}$

(2) $(1+x)e^x$

(3) $e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $e^x(\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(6) $e^{2x}(2\tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$