次の関数を微分せよ。 (4) $y = 2x \log_3 x$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(4) $y = 2x \log_3 x$

2. 解き方の手順

関数 $y = 2x \log_3 x$ を微分します。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

ここで、$u = 2x$、$v = \log_3 x$ とおきます。

$u' = \frac{d}{dx}(2x) = 2$

$v' = \frac{d}{dx}(\log_3 x)$

底の変換公式を用いて自然対数に変換します。

$\log_3 x = \frac{\log x}{\log 3}$

$\frac{d}{dx}(\log_3 x) = \frac{d}{dx}(\frac{\log x}{\log 3}) = \frac{1}{\log 3} \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{\log 3} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log 3}$

したがって、

$y' = u'v + uv' = 2 \log_3 x + 2x \cdot \frac{1}{x \log 3} = 2 \log_3 x + \frac{2}{\log 3}$

さらに、底の変換公式より $\frac{1}{\log 3} = \log_3 e$ なので、

$y' = 2 \log_3 x + 2 \log_3 e = 2(\log_3 x + \log_3 e) = 2 \log_3 (ex)$

3. 最終的な答え

$y' = 2\log_3 x + \frac{2}{\log 3}$

または

$y' = 2 \log_3 (ex)$