次の関数の導関数を求めます。 (1) $y = \arcsin(2x)$ (2) $y = \arccos(x^2 - 1)$ (3) $y = \arctan(\sqrt{2})$

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

(1) $y = \arcsin(2x)$

(2) $y = \arccos(x^2 - 1)$

(3) $y = \arctan(\sqrt{2})$

2. 解き方の手順

(1) $y = \arcsin(2x)$ の導関数

$\arcsin(u)$ の導関数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \frac{du}{dx}$ です。

$u = 2x$ なので、$\frac{du}{dx} = 2$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

(2) $y = \arccos(x^2 - 1)$ の導関数

$\arccos(u)$ の導関数は $-\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \frac{du}{dx}$ です。

$u = x^2 - 1$ なので、$\frac{du}{dx} = 2x$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (x^2 - 1)^2}} \cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{1 - (x^4 - 2x^2 + 1)}} = -\frac{2x}{\sqrt{-x^4 + 2x^2}} = -\frac{2x}{\sqrt{x^2(2 - x^2)}} = -\frac{2x}{|x|\sqrt{2 - x^2}}$

$x > 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{2 - x^2}}$

$x < 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{2 - x^2}}$

まとめて、$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{|x|\sqrt{2 - x^2}}$

(3) $y = \arctan(\sqrt{2})$ の導関数

$\arctan(\sqrt{2})$ は定数なので、導関数は 0 です。

$\frac{dy}{dx} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{|x|\sqrt{2 - x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 0$