関数 $y = e^{\cos x}$ のマクローリン展開を2次の項まで求める。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\cos x}$ のマクローリン展開を2次の項まで求める。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したものです。一般に、関数 $f(x)$ のマクローリン展開は次の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

今回は2次の項までなので、$x^2$ の項まで求めます。

まず、$f(x) = e^{\cos x}$ を定義します。

$f(0) = e^{\cos 0} = e^1 = e$

次に、1階微分 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{d}{dx}e^{\cos x} = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -e^{\cos x} \sin x$

$f'(0) = -e^{\cos 0} \sin 0 = -e \cdot 0 = 0$

次に、2階微分 $f''(x)$ を計算します。

$f''(x) = \frac{d}{dx} (-e^{\cos x} \sin x) = -(\frac{d}{dx} e^{\cos x} \cdot \sin x + e^{\cos x} \cdot \frac{d}{dx} \sin x) = -(-e^{\cos x} \sin x \cdot \sin x + e^{\cos x} \cdot \cos x) = e^{\cos x} \sin^2 x - e^{\cos x} \cos x = e^{\cos x}(\sin^2 x - \cos x)$

$f''(0) = e^{\cos 0}(\sin^2 0 - \cos 0) = e(0 - 1) = -e$

したがって、$f(x) = e^{\cos x}$ のマクローリン展開の2次の項までの近似は、次のようになります。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 = e + 0 \cdot x + \frac{-e}{2}x^2 = e - \frac{e}{2}x^2$

3. 最終的な答え

$e - \frac{e}{2}x^2$