関数 $y = 2^x$ のマクローリン展開を2次の項まで求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 2^x$ のマクローリン展開を2次の項まで求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ に対して、以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ...$

今回の問題では、2次の項まで求めるので、以下の式まで計算します。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2$

まず、$f(x) = 2^x$ なので、$f(0) = 2^0 = 1$ となります。

次に、$f'(x)$ を求めます。$f(x) = 2^x = e^{x \ln 2}$ なので、$f'(x) = (\ln 2) e^{x \ln 2} = (\ln 2) 2^x$ となります。

したがって、$f'(0) = (\ln 2) 2^0 = \ln 2$ です。

次に、$f''(x)$ を求めます。$f''(x) = (\ln 2)^2 2^x$ となります。

したがって、$f''(0) = (\ln 2)^2 2^0 = (\ln 2)^2$ です。

以上より、マクローリン展開の2次の項までの近似は、

$2^x \approx 1 + (\ln 2) x + \frac{(\ln 2)^2}{2}x^2$

3. 最終的な答え

$2^x \approx 1 + (\ln 2) x + \frac{(\ln 2)^2}{2}x^2$