次の不定積分を求めます。 $\int (x+2)\sqrt{x-1} dx$

## 回答

1. **問題の内容**

次の不定積分を求めます。

$\int (x+2)\sqrt{x-1} dx$

2. **解き方の手順**

まず、$t = \sqrt{x-1}$ と置換します。すると、$x = t^2 + 1$ となり、$dx = 2t dt$ となります。

与えられた積分は次のようになります。

$\int (x+2)\sqrt{x-1} dx = \int (t^2+1+2) t \cdot 2t dt = \int 2(t^2+3) t^2 dt = 2\int (t^4 + 3t^2) dt$

積分を計算します。

$2\int (t^4 + 3t^2) dt = 2(\frac{1}{5}t^5 + t^3) + C = \frac{2}{5}t^5 + 2t^3 + C$

$t = \sqrt{x-1}$ を代入して、$t^5 = (x-1)^{5/2}$、$t^3 = (x-1)^{3/2}$ なので、

$\frac{2}{5}(x-1)^{5/2} + 2(x-1)^{3/2} + C = \frac{2}{5}(x-1)^{3/2}(x-1 + 5) + C = \frac{2}{5}(x-1)^{3/2}(x+4) + C$

したがって、

$\int (x+2)\sqrt{x-1} dx = \frac{2}{5}(x+4)(x-1)^{3/2} + C$

3. **最終的な答え**

$\int (x+2)\sqrt{x-1} dx = \frac{2}{5}(x+4)(x-1)^{3/2} + C$