だ円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ の $x > 0$, $y > 0$ の部分を $C$ とする。曲線 $C$ 上に点 $P(x_1, y_1)$ をとり、点 $P$ での接線と2直線 $y = 1$, および $x = 2$ との交点をそれぞれ $Q, R$ とする。点 $(2, 1)$ を $A$ とし、$\triangle AQR$ の面積を $S$ とする。このとき、次の問いに答えよ。 (1) $x_1 + 2y_1 = k$ とおくとき、積 $x_1 y_1$ を $k$ を用いて表せ。 (2) $S$ を $k$ を用いて表せ。 (3) 点 $P$ が $C$ 上を動くとき、$S$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

だ円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ の $x > 0$, $y > 0$ の部分を $C$ とする。曲線 $C$ 上に点 $P(x_1, y_1)$ をとり、点 $P$ での接線と2直線 $y = 1$, および $x = 2$ との交点をそれぞれ $Q, R$ とする。点 $(2, 1)$ を $A$ とし、$\triangle AQR$ の面積を $S$ とする。このとき、次の問いに答えよ。

(1) $x_1 + 2y_1 = k$ とおくとき、積 $x_1 y_1$ を $k$ を用いて表せ。

(2) $S$ を $k$ を用いて表せ。

(3) 点 $P$ が $C$ 上を動くとき、$S$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた式 $x_1 + 2y_1 = k$ から $x_1 = k - 2y_1$ となる。

$P(x_1, y_1)$ はだ円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上にあるので、 $x_1^2 + 4y_1^2 = 4$ を満たす。

$x_1 = k - 2y_1$ を代入して、 $(k - 2y_1)^2 + 4y_1^2 = 4$ となる。

これを展開すると $k^2 - 4ky_1 + 4y_1^2 + 4y_1^2 = 4$ となり、$8y_1^2 - 4ky_1 + (k^2 - 4) = 0$ となる。

$x_1 + 2y_1 = k$ より $(x_1 + 2y_1)^2 = k^2$ である。

また、 $x_1^2 + 4y_1^2 = 4$ より、

$(x_1 + 2y_1)^2 - 4x_1 y_1 = 4$ だから、

$k^2 - 4x_1 y_1 = 4$

したがって、 $4x_1 y_1 = k^2 - 4$

$x_1 y_1 = \frac{k^2 - 4}{4}$

(2)

だ円 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上の点 $P(x_1, y_1)$ における接線は $\frac{x_1 x}{4} + y_1 y = 1$ となる。

接線と直線 $y = 1$ との交点 $Q$ の $x$ 座標は $\frac{x_1 x}{4} + y_1 = 1$ より $\frac{x_1 x}{4} = 1 - y_1$, よって $x = \frac{4(1 - y_1)}{x_1}$ である。

したがって、 $Q(\frac{4(1 - y_1)}{x_1}, 1)$ となる。

接線と直線 $x = 2$ との交点 $R$ の $y$ 座標は $\frac{x_1 (2)}{4} + y_1 y = 1$ より $y_1 y = 1 - \frac{x_1}{2}$, よって $y = \frac{1 - \frac{x_1}{2}}{y_1} = \frac{2 - x_1}{2y_1}$ である。

したがって、 $R(2, \frac{2 - x_1}{2y_1})$ となる。

$A(2, 1)$, $Q(\frac{4(1 - y_1)}{x_1}, 1)$, $R(2, \frac{2 - x_1}{2y_1})$ なので、

$\triangle AQR$ の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} \times |2 - \frac{4(1 - y_1)}{x_1}| \times |1 - \frac{2 - x_1}{2y_1}|$ となる。

$S = \frac{1}{2} | \frac{2x_1 - 4 + 4y_1}{x_1}| |\frac{2y_1 - 2 + x_1}{2y_1}|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{2(x_1 + 2y_1) - 4}{x_1}| |\frac{x_1 + 2y_1 - 2}{2y_1}|$

$S = \frac{1}{2} |\frac{2k - 4}{x_1}| |\frac{k - 2}{2y_1}|$

$S = \frac{1}{2} \frac{2|k - 2|}{|x_1|} \frac{|k - 2|}{2|y_1|} = \frac{|k - 2|^2}{2 |x_1 y_1|}$

$S = \frac{(k - 2)^2}{2 \frac{k^2 - 4}{4}} = \frac{(k - 2)^2}{\frac{k^2 - 4}{2}} = \frac{2(k - 2)^2}{(k - 2)(k + 2)} = \frac{2(k - 2)}{k + 2}$

(3)

$x_1 > 0, y_1 > 0$ より $k = x_1 + 2y_1 > 0$

$x_1^2 + 4y_1^2 = 4$ より $x_1^2 < 4$ だから $0 < x_1 < 2$

$4y_1^2 < 4$ だから $0 < y_1 < 1$

$k = x_1 + 2y_1 < 2 + 2(1) = 4$

$k = x_1 + 2y_1$ に $x_1 = 2 \cos \theta, y_1 = \sin \theta$ とおくと

$k = 2 \cos \theta + 2 \sin \theta = 2\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より $\frac{\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) \le 1$

$2 < k \le 2\sqrt{2}$

$S = \frac{2(k - 2)}{k + 2}$ について、 $S' = \frac{2(k + 2) - 2(k - 2)}{(k + 2)^2} = \frac{8}{(k + 2)^2} > 0$

$S$ は $k$ について単調増加。

したがって、 $k = 2\sqrt{2}$ のとき $S$ は最大となる。

$S_{max} = \frac{2(2\sqrt{2} - 2)}{2\sqrt{2} + 2} = \frac{4(\sqrt{2} - 1)}{2(\sqrt{2} + 1)} = 2 \frac{(\sqrt{2} - 1)^2}{2 - 1} = 2(2 - 2\sqrt{2} + 1) = 2(3 - 2\sqrt{2}) = 6 - 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x_1 y_1 = \frac{k^2 - 4}{4}$

(2) $S = \frac{2(k - 2)}{k + 2}$

(3) $S$ の最大値は $6 - 4\sqrt{2}$