関数 $y = \frac{1}{1-\sin x}$ のマクローリン展開を2次の項まで求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{1-\sin x}$ のマクローリン展開を2次の項まで求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したものです。2次の項までのマクローリン展開は、以下の式で表されます。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2$

まず、$f(x) = \frac{1}{1-\sin x}$ とおきます。

次に、$f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$ を計算します。

$f(0) = \frac{1}{1-\sin 0} = \frac{1}{1-0} = 1$

次に、導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = \frac{d}{dx} (1-\sin x)^{-1} = (-1)(1-\sin x)^{-2}(-\cos x) = \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2}$

したがって、

$f'(0) = \frac{\cos 0}{(1-\sin 0)^2} = \frac{1}{(1-0)^2} = 1$

次に、2階導関数 $f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = \frac{d}{dx} \frac{\cos x}{(1-\sin x)^2} = \frac{-\sin x (1-\sin x)^2 - \cos x \cdot 2(1-\sin x)(-\cos x)}{(1-\sin x)^4} = \frac{-\sin x (1-\sin x)^2 + 2\cos^2 x (1-\sin x)}{(1-\sin x)^4} = \frac{-\sin x (1-\sin x) + 2\cos^2 x}{(1-\sin x)^3} = \frac{-\sin x + \sin^2 x + 2(1-\sin^2 x)}{(1-\sin x)^3} = \frac{-\sin x + \sin^2 x + 2 - 2\sin^2 x}{(1-\sin x)^3} = \frac{2 - \sin x - \sin^2 x}{(1-\sin x)^3}$

したがって、

$f''(0) = \frac{2 - \sin 0 - \sin^2 0}{(1-\sin 0)^3} = \frac{2 - 0 - 0}{(1-0)^3} = 2$

よって、マクローリン展開は、

$f(x) \approx 1 + 1 \cdot x + \frac{2}{2} x^2 = 1 + x + x^2$

3. 最終的な答え

$1 + x + x^2$