問題は全部で6問あります。 1. (1) $\arcsin \frac{1}{2}$ と $\arctan(-\sqrt{3})$ の値を求める問題。 (2) 単位円またはその一部を用いて、$\cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$ を示す問題。

1. 問題の内容

問題は全部で6問あります。

1. (1) $\arcsin \frac{1}{2}$ と $\arctan(-\sqrt{3})$ の値を求める問題。

(2) 単位円またはその一部を用いて、$\cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$ を示す問題。

2. $\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 4$ が成り立つことを、極限値の基本性質のうち和の性質と積の性質をそれぞれ一度ずつ用いて説明する問題。

3. 大きなスケールで見たとき ($x \to \infty$)、2つのグラフ $y = 2x^3 + 3x^2 + 5$ と $y = 2x^3$ がほぼ等しくなる理由を比の極限値を用いて説明する問題。

4. 5つの関数 $y = e^x, y = x^3, y = x, y = \sqrt{x}, y = \log x$ について、$x \to \infty$ のとき増大度が大きなものから順番に並べる問題。

5. 関数 $f(x) = x^2$ について考える問題。

(1) $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$ とする。$\Delta x$, $\Delta f$ を用いて、導関数 $\frac{df}{dx}$ の定義式を書く問題。

(2) (1) の定義式を用いて、$\frac{df}{dx} = 2x$ となることを示す問題。

6. (1) 極限値 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x + 2}$ を求める問題。

(2) $f(x) = x^2$ ($x \ge 0$), $g(x) = \sqrt{x}$ とする。関数の合成を用いて、$f(x)$ と $g(x)$ が互いに逆関数であることを示す問題。

2. 解き方の手順

1. (1)

- $\arcsin \frac{1}{2}$ は、$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。$\theta = \frac{\pi}{6}$

- $\arctan(-\sqrt{3})$ は、$\tan \theta = -\sqrt{3}$ となる $\theta$ を求める。$\theta = -\frac{\pi}{3}$

(2)

- $\theta = \arcsin u$ とおく。このとき、$\sin \theta = u$ であり、$cos^2 \theta + sin^2 \theta = 1$ より、$cos^2 \theta = 1 - sin^2 \theta = 1 - u^2$。

- よって、$cos \theta = \sqrt{1 - u^2}$。ゆえに、$cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$。

2. - 和の性質：$\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = \lim_{x \to 1} x^2 + \lim_{x \to 1} 3$

- 積の性質：$\lim_{x \to 1} x^2 = \lim_{x \to 1} x \cdot \lim_{x \to 1} x = 1 \cdot 1 = 1$

- 定数の極限：$\lim_{x \to 1} 3 = 3$

- よって、$\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 1 + 3 = 4$

3. - $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{2x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^3}}{2} = \frac{2 + 0 + 0}{2} = 1$

- 比の極限が1であるため、2つの関数はほぼ等しくなる。

4. - 増大度の順に並べると $y = e^x > y = x^3 > y = x > y = \sqrt{x} > y = \log x$

5. (1)

- $\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

(2)

- $f(x) = x^2$ より、$\Delta f = (x + \Delta x)^2 - x^2 = x^2 + 2x \Delta x + (\Delta x)^2 - x^2 = 2x \Delta x + (\Delta x)^2$

- $\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x$

6. (1)

- $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x + 2} = \frac{1^2 - 1}{1 + 2} = \frac{0}{3} = 0$

(2)

- $f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = (\sqrt{x})^2 = x$ ($x \ge 0$)

- $g(f(x)) = g(x^2) = \sqrt{x^2} = x$ ($x \ge 0$)

- よって、$f(x)$ と $g(x)$ は互いに逆関数である。

3. 最終的な答え

1. (1) $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

(2) $\cos(\arcsin u) = \sqrt{1-u^2}$

2. $\lim_{x \to 1} (x^2 + 3) = 4$ は極限の和と積の性質より成り立つ。

3. $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 3x^2 + 5}{2x^3} = 1$ であるため、$x \to \infty$ のとき、$y = 2x^3 + 3x^2 + 5$ と $y = 2x^3$ はほぼ等しくなる。

4. $y = e^x > y = x^3 > y = x > y = \sqrt{x} > y = \log x$

5. (1) $\frac{df}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

(2) $\frac{df}{dx} = 2x$

6. (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x + 2} = 0$

(2) $f(x)$ と $g(x)$ は互いに逆関数である。