問題1：関数 $f(x) = x - x^3$ と区間 $[0, 2]$ について、平均値の定理を適用したとき、定理が主張する $c$ の値を求める問題。$f'(c) = 1$ および $0 < c < 2$ を満たす $c$ を求める。 問題2：極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x}{\tan x}$ の値をロピタルの定理を用いて求める問題。

1. 問題の内容

問題1：関数 $f(x) = x - x^3$ と区間 $[0, 2]$ について、平均値の定理を適用したとき、定理が主張する $c$ の値を求める問題。$f'(c) = 1$ および $0 < c < 2$ を満たす $c$ を求める。

問題2：極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x}{\tan x}$ の値をロピタルの定理を用いて求める問題。

2. 解き方の手順

問題1：

* 平均値の定理より、ある $c \in (0, 2)$ が存在して、$f'(c) = \frac{f(2) - f(0)}{2 - 0}$ が成り立つ。

* $f(x) = x - x^3$ なので、$f'(x) = 1 - 3x^2$。

* $f(2) = 2 - 2^3 = 2 - 8 = -6$、$f(0) = 0 - 0^3 = 0$。

* $\frac{f(2) - f(0)}{2 - 0} = \frac{-6 - 0}{2} = -3$。

* $f'(c) = 1 - 3c^2$ より、$1 - 3c^2 = -3$。

$3c^2 = 4$

$c^2 = \frac{4}{3}$

$c = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

* $0 < c < 2$ より、$c = \frac{2}{\sqrt{3}}$。

* $c = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

問題2：

* $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x}{\tan x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できる。

* 分子の微分: $\frac{d}{dx}(x^2 - x) = 2x - 1$。

* 分母の微分: $\frac{d}{dx}(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$。

* $\lim_{x \to 0} \frac{2x - 1}{\frac{1}{\cos^2 x}} = \lim_{x \to 0} (2x - 1) \cos^2 x = (2(0) - 1) \cos^2(0) = (-1)(1)^2 = -1$。

3. 最終的な答え

問題1の答え：$c = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

問題2の答え：$-1$