次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \frac{dx}{2x+3}$ (2) $\int \cos(\frac{1}{2}x - 5) dx$ (3) $\int e^{-3x+2} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{dx}{2x+3}$

(2) $\int \cos(\frac{1}{2}x - 5) dx$

(3) $\int e^{-3x+2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{dx}{2x+3}$

$u = 2x + 3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。よって、

$\int \frac{dx}{2x+3} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|2x+3| + C$

(2) $\int \cos(\frac{1}{2}x - 5) dx$

$u = \frac{1}{2}x - 5$ と置換すると、$du = \frac{1}{2}dx$ より $dx = 2du$ となります。よって、

$\int \cos(\frac{1}{2}x - 5) dx = \int \cos(u) \cdot 2 du = 2 \int \cos(u) du = 2 \sin(u) + C = 2 \sin(\frac{1}{2}x - 5) + C$

(3) $\int e^{-3x+2} dx$

$u = -3x + 2$ と置換すると、$du = -3dx$ より $dx = -\frac{1}{3}du$ となります。よって、

$\int e^{-3x+2} dx = \int e^u \cdot (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int e^u du = -\frac{1}{3} e^u + C = -\frac{1}{3} e^{-3x+2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln|2x+3| + C$

(2) $2 \sin(\frac{1}{2}x - 5) + C$

(3) $-\frac{1}{3} e^{-3x+2} + C$