関数 $y = \frac{2}{x\sqrt{x}}$ の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{2}{x\sqrt{x}}$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数を $x$ の指数を用いて書き換えます。

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、$x\sqrt{x} = x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$ となります。

したがって、$y = \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} = 2x^{-\frac{3}{2}}$ と書き換えることができます。

次に、この関数を微分します。冪関数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$y' = \frac{dy}{dx} = 2 \cdot (-\frac{3}{2}) x^{-\frac{3}{2} - 1} = -3 x^{-\frac{5}{2}}$

最後に、指数を正の形に戻します。

$y' = -3 x^{-\frac{5}{2}} = -\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}} = -\frac{3}{x^2 \sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}} = -\frac{3}{x^2\sqrt{x}}$