線積分 $\int_C (2x - y + 8) dx + (2x + y - 8) dy$ を計算する問題です。ただし、$C$ は $x^2 + (y-3)^2 = 36$ で表される円周を左回りに一周する経路です。

1. 問題の内容

線積分 $\int_C (2x - y + 8) dx + (2x + y - 8) dy$ を計算する問題です。ただし、$C$ は $x^2 + (y-3)^2 = 36$ で表される円周を左回りに一周する経路です。

2. 解き方の手順

この問題はグリーンの定理を利用して解くことができます。

グリーンの定理は、領域 $D$ の境界 $C$ に沿った線積分を、領域 $D$ 上の二重積分に変換するものです。

グリーンの定理は次のように表されます。

$\oint_C P dx + Q dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$

ここで、$P = 2x - y + 8$、 $Q = 2x + y - 8$ とおくと、

$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x + y - 8) = 2$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x - y + 8) = -1$

したがって、

$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2 - (-1) = 3$

よって、線積分は次の二重積分に変換されます。

$\iint_D 3 dA = 3 \iint_D dA$

ここで、$\iint_D dA$ は領域 $D$ の面積を表します。

$D$ は円 $x^2 + (y-3)^2 = 36$ で囲まれた領域なので、半径 $r=6$ の円です。

したがって、$D$ の面積は $\pi r^2 = \pi (6^2) = 36\pi$ です。

よって、求める線積分の値は次のようになります。

$3 \iint_D dA = 3 (36\pi) = 108\pi$

3. 最終的な答え

$108\pi$