次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \log(4x)$ (4) $y = 2x\log_3(x)$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \log(4x)$

(4) $y = 2x\log_3(x)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log(4x)$の微分

$\log(4x)$は$\log$を底とする対数関数です。底が省略されている場合、通常は底が$e$である自然対数、つまり$\log_e(4x) = \ln(4x)$を意味します。

合成関数の微分を利用します。

$\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$

$u = 4x$とすると、$\frac{du}{dx} = 4$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x} \cdot 4 = \frac{1}{x}$

(4) $y = 2x\log_3(x)$の微分

積の微分法と底の変換公式を使います。

まず、底の変換公式を使って$\log_3(x)$を自然対数で表します。

$\log_3(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(3)}$

したがって、$y = 2x\frac{\ln(x)}{\ln(3)} = \frac{2}{\ln(3)}x\ln(x)$

積の微分法$(uv)' = u'v + uv'$を使います。$u = x$, $v = \ln(x)$とすると、

$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\ln(3)}\left(1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}\right) = \frac{2}{\ln(3)}(\ln(x) + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\ln(3)}(\ln(x) + 1)$