問題 (5) は関数 $y = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}$ の微分を計算する問題です。

## 問題1

1. 問題の内容

問題 (5) は関数 $y = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}$ の微分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理します。

$y = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} = \left(1 + x^{-\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を使って微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = 1 + x^{-\frac{1}{2}}$ とおくと、$y = u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\left(1 + x^{-\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left(1 + x^{-\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}\right)$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}\left(1 + x^{-\frac{1}{2}}\right)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

## 問題2

1. 問題の内容

問題 (6) は関数 $y = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}}$ の微分を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を整理します。

$y = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} = (x + \sqrt{1+x^2})^{-1}$

次に、合成関数の微分公式（チェーンルール）を使って微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、$u = x + \sqrt{1+x^2}$ とおくと、$y = u^{-1}$ です。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{(x + \sqrt{1+x^2})^2}$

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2}(1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x + \sqrt{1+x^2})^2} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x + \sqrt{1+x^2}}{(x + \sqrt{1+x^2})^2\sqrt{1+x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x + \sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x + \sqrt{1+x^2})\sqrt{1+x^2}}$