与えられた関数を微分する問題です。ただし、$a > 0$ かつ $a \neq 1$ とします。今回は、(3), (4), (6) の関数について微分します。 (3) $y = \log(x^2 + 2)$ (4) $y = 2x \log_3 x$ (6) $y = \log_a |x^2 - 5|$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。ただし、$a > 0$ かつ $a \neq 1$ とします。今回は、(3), (4), (6) の関数について微分します。

(3) $y = \log(x^2 + 2)$

(4) $y = 2x \log_3 x$

(6) $y = \log_a |x^2 - 5|$

2. 解き方の手順

(3) $y = \log(x^2 + 2)$ の微分

$\log$ は底が10の対数なので、自然対数 $\ln$ に変換します。

$y = \log(x^2 + 2) = \frac{\ln(x^2 + 2)}{\ln 10}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 2)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{x^2 + 2} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 2)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln 10} \cdot \frac{1}{x^2 + 2} \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\ln 10 (x^2 + 2)}$

(4) $y = 2x \log_3 x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$y' = 2 \log_3 x + 2x \cdot \frac{d}{dx} (\log_3 x)$

$y' = 2 \log_3 x + 2x \cdot \frac{1}{x \ln 3}$

$y' = 2 \log_3 x + \frac{2}{\ln 3}$

$y' = 2 \frac{\ln x}{\ln 3} + \frac{2}{\ln 3}$

$y' = \frac{2 \ln x + 2}{\ln 3}$

$y' = \frac{2(\ln x + 1)}{\ln 3}$

(6) $y = \log_a |x^2 - 5|$ の微分

絶対値記号の中身で場合分けします。

しかし、$y'= \frac{1}{(x^2-5)\ln a} \cdot 2x$ は $x^2-5 > 0$ と $x^2-5 < 0$ で共通なので、絶対値記号を無視して微分して問題ありません。

$y' = \frac{1}{(x^2-5) \ln a} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 5)$

$y' = \frac{2x}{(x^2 - 5)\ln a}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{(x^2 + 2)\ln 10}$

(4) $y' = \frac{2(\ln x + 1)}{\ln 3}$

(6) $y' = \frac{2x}{(x^2 - 5)\ln a}$