関数 $y = \log |\tan x|$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \log |\tan x|$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を用います。$u = |\tan x|$ とおくと、$y = \log u$ となります。

$\log$ は自然対数とします。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{|\tan x|}$

次に、$\frac{du}{dx}$ を求めます。$u = |\tan x|$ なので、場合分けが必要です。

(i) $\tan x > 0$ のとき、$u = \tan x$ なので、$\frac{du}{dx} = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

(ii) $\tan x < 0$ のとき、$u = -\tan x$ なので、$\frac{du}{dx} = -\sec^2 x = -\frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、$\frac{du}{dx} = \frac{\tan x}{|\tan x|} \sec^2 x = \frac{\tan x}{|\tan x|} \frac{1}{\cos^2 x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{|\tan x|} \cdot \frac{\tan x}{|\tan x|} \sec^2 x = \frac{\tan x}{\tan^2 x} \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\tan x} \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2 \csc 2x$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2 \csc 2x$