関数 $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$ を微分せよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題の微分を解きます。今回は、(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

対数微分法を用います。まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln |y| = \ln \left| \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \right|$

対数の性質を利用して、式を整理します。

$\ln |y| = \ln |(x+1)^2| - \ln |(x+2)^3| - \ln |(x+3)^4|$

$\ln |y| = 2 \ln |x+1| - 3 \ln |x+2| - 4 \ln |x+3|$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)$

$y$ に元の関数を代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \left( \frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} \right)$

括弧の中を通分して整理します。

$\frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} = \frac{2(x+2)(x+3) - 3(x+1)(x+3) - 4(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

分子を展開して整理します。

$2(x^2 + 5x + 6) - 3(x^2 + 4x + 3) - 4(x^2 + 3x + 2) = 2x^2 + 10x + 12 - 3x^2 - 12x - 9 - 4x^2 - 12x - 8 = -5x^2 - 14x - 5$

したがって、

$\frac{2}{x+1} - \frac{3}{x+2} - \frac{4}{x+3} = \frac{-5x^2 - 14x - 5}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

元の式に代入して、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(x+2)^3(x+3)^4} \cdot \frac{-5x^2 - 14x - 5}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

約分して、

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)(-5x^2 - 14x - 5)}{(x+2)^4(x+3)^5}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)(-5x^2 - 14x - 5)}{(x+2)^4(x+3)^5}$

または、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-5x^3 - 19x^2 - 19x - 5}{(x+2)^4(x+3)^5}$