次の関数の極値を求めよ。 (1) $f(x) = \frac{\log x}{x}$ (2) $g(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \cos x$ (ただし、$0 < x < 2\pi$)

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の関数の極値を求めよ。

(1) $f(x) = \frac{\log x}{x}$

(2) $g(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \cos x$ (ただし、$0 < x < 2\pi$)

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{\log x}{x}$ の極値を求める。

まず、$f(x)$ の定義域は $x > 0$ である。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{1 - \log x}{x^2} = 0$ より、$1 - \log x = 0$。

したがって、$\log x = 1$ より、$x = e$。

$f'(x)$ の符号を調べる。

- $0 < x < e$ のとき、$f'(x) > 0$

- $x > e$ のとき、$f'(x) < 0$

したがって、$x = e$ で極大値をとる。

極大値は $f(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$。

(2) $g(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \cos x$ ($0 < x < 2\pi$) の極値を求める。

$g(x) = 1 - \cos^2 x - \sqrt{3} \cos x$

$g'(x) = 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x = \sin x(2 \cos x + \sqrt{3})$

$g'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\sin x = 0$ または $2 \cos x + \sqrt{3} = 0$。

$0 < x < 2\pi$ の範囲で、

$\sin x = 0$ のとき、$x = \pi$。

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$。

$x = \pi, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ における $g(x)$ の値を計算する。

$g(\pi) = \sin^2 \pi - \sqrt{3} \cos \pi = 0 - \sqrt{3}(-1) = \sqrt{3}$

$g(\frac{5\pi}{6}) = \sin^2 \frac{5\pi}{6} - \sqrt{3} \cos \frac{5\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 - \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{7}{4}$

$g(\frac{7\pi}{6}) = \sin^2 \frac{7\pi}{6} - \sqrt{3} \cos \frac{7\pi}{6} = (-\frac{1}{2})^2 - \sqrt{3}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{7}{4}$

$g'(x)$ の符号を調べる。

- $0 < x < \frac{5\pi}{6}$ のとき、$g'(x) > 0$

- $\frac{5\pi}{6} < x < \pi$ のとき、$g'(x) < 0$

- $\pi < x < \frac{7\pi}{6}$ のとき、$g'(x) < 0$

- $\frac{7\pi}{6} < x < 2\pi$ のとき、$g'(x) > 0$

$x = \frac{5\pi}{6}$ で極大値 $\frac{7}{4}$ をとる。

$x = \frac{7\pi}{6}$ で極小値 $\frac{7}{4}$ をとる。

$x = \pi$ において、極値ではない

3. 最終的な答え

(1) $x = e$ で極大値 $\frac{1}{e}$

(2) $x = \frac{5\pi}{6}$ で極大値 $\frac{7}{4}$、 $x = \frac{7\pi}{6}$ で極小値 $\frac{7}{4}$