次の極限を求めます： $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \{1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - (2n)^2 + (2n+1)^2 \}$

## 実力問題 22-(1)

1. 問題の内容

次の極限を求めます：

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \{1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - (2n)^2 + (2n+1)^2 \}$

2. 解き方の手順

まず、数列の和を整理します。

$S_n = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - (2n)^2 + (2n+1)^2$

$S_n = \sum_{k=1}^{2n+1} (-1)^{k+1} k^2$

偶数項と奇数項を分けて考えます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} ( (2k+1)^2 - (2k)^2) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 + 4k + 1 - 4k^2) = \sum_{k=1}^{n} (4k+1)$

$S_n = 4 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 4 \frac{n(n+1)}{2} + n = 2n(n+1) + n = 2n^2 + 2n + n = 2n^2 + 3n$

求める極限は、

$\lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 3n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} (2 + \frac{3}{n}) = 2 + 0 = 2$

3. 最終的な答え

2

## 実力問題 22-(2)

1. 問題の内容

次の極限を求めます：

$\lim_{n \to \infty} \left\{ \left(1-\frac{1}{2^2}\right) \left(1-\frac{1}{3^2}\right) \left(1-\frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1-\frac{1}{n^2}\right) \right\}$

2. 解き方の手順

$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2-1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$

よって、数列の積は、

$\prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{k^2}\right) = \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \dots \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$

分子と分母で約分できる項が多いことに注目します。

$= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (n-1)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \dots n} \cdot \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \dots (n+1)}{2 \cdot 3 \cdot 4 \dots n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}$

したがって、求める極限は、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## 実力問題 22-(3)

1. 問題の内容

次の極限を求めます：

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+10n+8} - 2\sqrt{n^2+2n+3} + \sqrt{n^2-4n+1})$

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2+10n+8} = n \sqrt{1+\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}} = n (1 + \frac{1}{2} (\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2}) - \frac{1}{8} (\frac{10}{n}+\frac{8}{n^2})^2 + \dots ) \approx n + 5 - \frac{25}{2n} + \dots$

$\sqrt{n^2+2n+3} = n \sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}} = n (1 + \frac{1}{2} (\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}) - \frac{1}{8} (\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2})^2 + \dots ) \approx n + 1 - \frac{1}{2n} + \dots$

$\sqrt{n^2-4n+1} = n \sqrt{1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}} = n (1 + \frac{1}{2} (-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}) - \frac{1}{8} (-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2})^2 + \dots ) \approx n - 2 - \frac{2}{n} + \dots$

$\sqrt{n^2+10n+8} - 2\sqrt{n^2+2n+3} + \sqrt{n^2-4n+1} \approx (n+5-\frac{25}{2n}) - 2(n+1-\frac{1}{2n}) + (n-2-\frac{2}{n}) = n+5-\frac{25}{2n} - 2n-2+\frac{1}{n} + n-2-\frac{2}{n} = 1 - \frac{47}{2n}$

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{47}{2n}) = 1$

3. 最終的な答え

1

## 実力問題 22-(4)

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} n^2 (\sqrt[3]{2n+1} - \sqrt[3]{2n})$ を求めよ

2. 解き方の手順

$\sqrt[3]{2n+1} - \sqrt[3]{2n} = \frac{(2n+1) - 2n}{(\sqrt[3]{2n+1})^2 + \sqrt[3]{2n+1} \sqrt[3]{2n} + (\sqrt[3]{2n})^2} = \frac{1}{(2n+1)^{2/3} + (2n+1)^{1/3}(2n)^{1/3} + (2n)^{2/3}}$

$\lim_{n \to \infty} n^2 \frac{1}{(2n+1)^{2/3} + (2n+1)^{1/3}(2n)^{1/3} + (2n)^{2/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{(2n)^{2/3} ( (1+1/(2n))^{2/3} + (1+1/(2n))^{1/3} + 1 )} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{4/3}}{2^{2/3} ( 1 + 1 + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{4/3}}{3 \cdot 2^{2/3}} = \infty$

なので、問題が間違ってるか、または計算ミスがあるかも。

別の解き方

$\sqrt[3]{2n+1} = \sqrt[3]{2n} (1+\frac{1}{2n})^{1/3} = \sqrt[3]{2n} (1 + \frac{1}{6n} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} (\frac{2}{3}) \frac{1}{4n^2} + \dots ) \approx \sqrt[3]{2n} + \frac{1}{6n^{2/3}}$

$\sqrt[3]{2n+1} - \sqrt[3]{2n} \approx \frac{1}{6n^{2/3}}$

$\lim_{n \to \infty} n^2 (\sqrt[3]{2n+1} - \sqrt[3]{2n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{6n^{2/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{4/3}}{6} = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$

## 実力問題 22-(5)

1. 問題の内容

$\lim_{n \to \infty} \frac{[\sqrt{3n^2+2n+2}]}{n+1}$ を求めよ。ここで $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

2. 解き方の手順

$\sqrt{3n^2+2n+2} = \sqrt{3} n \sqrt{1+\frac{2}{3n}+\frac{2}{3n^2}} \approx \sqrt{3} n (1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3n}+\frac{2}{3n^2}) + \dots) \approx \sqrt{3} n + \frac{\sqrt{3}}{3} + \dots$

$[\sqrt{3n^2+2n+2}] \approx \sqrt{3} n$

$\lim_{n \to \infty} \frac{[\sqrt{3n^2+2n+2}]}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3} n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{3}}{1+\frac{1}{n}} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$

## 実力問題 22-(6)

1. 問題の内容

$x_n = (-\frac{1}{2})^n + 2$ とおくとき、 $\lim_{n \to \infty} \frac{x_1 x_2 \dots x_n}{(-2)^n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$x_n = (-\frac{1}{2})^n + 2$

$\frac{x_1 x_2 \dots x_n}{(-2)^n} = \frac{(-\frac{1}{2}+2) (\frac{1}{4}+2) (-\frac{1}{8}+2) \dots ((-\frac{1}{2})^n + 2)}{(-2)^n}$

$= \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{15}{8} \dots (2 + (-\frac{1}{2})^n)}{(-2)^n}$

$= \prod_{k=1}^n \frac{2 + (-\frac{1}{2})^k}{-2}$

$= \prod_{k=1}^n (-1 - \frac{1}{2^{k+1}})$

$= \prod_{k=1}^n (-1)(1 + \frac{1}{2^{k+1}}) = (-1)^n \prod_{k=1}^n (1 + \frac{1}{2^{k+1}})$

$P_n = \prod_{k=1}^n (1 + \frac{1}{2^{k+1}})$ は $n \to \infty$ で収束する。

$\lim_{n \to \infty} P_n = P$ とすると、$P_n$ は単調増加で有界な数列なので、収束する。

しかし、符号が $(-1)^n$ で変わるため、$\lim_{n \to \infty} (-1)^n P_n$ は存在しない。

3. 最終的な答え

極限は存在しない。

## 実力問題 22-(7)

1. 問題の内容

$a$ が正の実数のとき、$\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

場合分けが必要

$a=1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} (1+1^n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} 2^{\frac{1}{n}} = 1$

$a>1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (a^n(1+\frac{1}{a^n}))^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} a(1+\frac{1}{a^n})^{\frac{1}{n}} = a \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{a^n})^{\frac{1}{n}}$

ここで $a>1$ なので $\frac{1}{a^n} \to 0$ ($n \to \infty$)

$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{a^n})^{\frac{1}{n}} = (1+0)^0 = 1$

よって $\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}} = a$

$0<a<1$ のとき

$\lim_{n \to \infty} (1+a^n)^{\frac{1}{n}} = 1$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、1

$a=1$ のとき、1

$a>1$ のとき、$a$