不定積分 $\int e^x \cos x dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int e^x \cos x dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行う。

まず、$u = e^x$, $dv = \cos x dx$ とおくと、$du = e^x dx$, $v = \sin x$ となるので、

$$\int e^x \cos x dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x dx$$

次に、$\int e^x \sin x dx$ を部分積分する。$u = e^x$, $dv = \sin x dx$ とおくと、$du = e^x dx$, $v = -\cos x$ となるので、

$$\int e^x \sin x dx = -e^x \cos x - \int e^x (-\cos x) dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx$$

したがって、

$$\int e^x \cos x dx = e^x \sin x - \left( -e^x \cos x + \int e^x \cos x dx \right) = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x dx$$

$$\int e^x \cos x dx = e^x \sin x + e^x \cos x - \int e^x \cos x dx$$

$$2 \int e^x \cos x dx = e^x \sin x + e^x \cos x$$

$$\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$$

（Cは積分定数）

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} e^x (\sin x + \cos x) + C$