$a, b$ が実数全体を動くとき、定積分 $\int_{0}^{\pi} (x - a - b \cos x)^2 dx$ の最小値を求め、そのときの $a, b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a, b$ が実数全体を動くとき、定積分 $\int_{0}^{\pi} (x - a - b \cos x)^2 dx$ の最小値を求め、そのときの $a, b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

定積分を $I$ とおくと、

$$I = \int_{0}^{\pi} (x - a - b \cos x)^2 dx$$

被積分関数を展開します。

$$(x - a - b \cos x)^2 = x^2 + a^2 + b^2 \cos^2 x - 2ax - 2bx \cos x + 2ab \cos x$$

これを積分すると、

$$I = \int_{0}^{\pi} x^2 dx + a^2 \int_{0}^{\pi} dx + b^2 \int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx - 2a \int_{0}^{\pi} x dx - 2b \int_{0}^{\pi} x \cos x dx + 2ab \int_{0}^{\pi} \cos x dx$$

各積分を計算します。

$$\int_{0}^{\pi} x^2 dx = \frac{\pi^3}{3}$$

$$\int_{0}^{\pi} dx = \pi$$

$$\int_{0}^{\pi} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2}$$

$$\int_{0}^{\pi} x dx = \frac{\pi^2}{2}$$

$$\int_{0}^{\pi} x \cos x dx = \left[ x \sin x \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin x dx = 0 - \left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi} = \cos \pi - \cos 0 = -1 - 1 = -2$$

$$\int_{0}^{\pi} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0$$

これらの値を代入すると、

$$I = \frac{\pi^3}{3} + a^2 \pi + b^2 \frac{\pi}{2} - 2a \frac{\pi^2}{2} - 2b (-2) + 2ab (0) = \frac{\pi^3}{3} + a^2 \pi + \frac{\pi}{2} b^2 - a \pi^2 + 4b$$

これを $a, b$ について平方完成させます。

$$I = \pi \left( a^2 - a \pi \right) + \frac{\pi}{2} b^2 + 4b + \frac{\pi^3}{3}$$

$$I = \pi \left( \left( a - \frac{\pi}{2} \right)^2 - \frac{\pi^2}{4} \right) + \frac{\pi}{2} \left( b^2 + \frac{8}{\pi} b \right) + \frac{\pi^3}{3}$$

$$I = \pi \left( a - \frac{\pi}{2} \right)^2 - \frac{\pi^3}{4} + \frac{\pi}{2} \left( \left( b + \frac{4}{\pi} \right)^2 - \frac{16}{\pi^2} \right) + \frac{\pi^3}{3}$$

$$I = \pi \left( a - \frac{\pi}{2} \right)^2 + \frac{\pi}{2} \left( b + \frac{4}{\pi} \right)^2 - \frac{\pi^3}{4} - \frac{8}{\pi} + \frac{\pi^3}{3}$$

$$I = \pi \left( a - \frac{\pi}{2} \right)^2 + \frac{\pi}{2} \left( b + \frac{4}{\pi} \right)^2 + \frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$$

$I$ を最小にするのは、

$$a - \frac{\pi}{2} = 0 \quad \text{and} \quad b + \frac{4}{\pi} = 0$$

すなわち、

$$a = \frac{\pi}{2} \quad \text{and} \quad b = -\frac{4}{\pi}$$

このときの最小値は

$$\frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$$

3. 最終的な答え

$a = \frac{\pi}{2}$、 $b = -\frac{4}{\pi}$ のとき、最小値 $\frac{\pi^3}{12} - \frac{8}{\pi}$