関数 $f(x) = \log(\sqrt{a^2+x^2}-x)$ が与えられています。この関数を微分し、多項式 $f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(\sqrt{a^2+x^2}-x)$ が与えられています。この関数を微分し、多項式 $f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。

$f(x) = \log(\sqrt{a^2+x^2}-x)$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}-x} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{a^2+x^2}-x)$

$\frac{d}{dx}(\sqrt{a^2+x^2}-x) = \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-1 = \frac{x-\sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{a^2+x^2}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}-x} \cdot \frac{x-\sqrt{a^2+x^2}}{\sqrt{a^2+x^2}} = \frac{-(\sqrt{a^2+x^2}-x)}{(\sqrt{a^2+x^2}-x)\sqrt{a^2+x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$

$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}$

次に、$f''(x)$を求めます。

$f''(x) = - \frac{d}{dx} (a^2+x^2)^{-1/2} = - (-\frac{1}{2}) (a^2+x^2)^{-3/2} (2x) = \frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}}$

次に、$f'''(x)$を求めます。

$f'''(x) = \frac{d}{dx} \frac{x}{(a^2+x^2)^{3/2}} = \frac{(a^2+x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(a^2+x^2)^{1/2}(2x)}{(a^2+x^2)^3} = \frac{(a^2+x^2)^{3/2} - 3x^2(a^2+x^2)^{1/2}}{(a^2+x^2)^3} = \frac{(a^2+x^2)-3x^2}{(a^2+x^2)^{5/2}} = \frac{a^2-2x^2}{(a^2+x^2)^{5/2}}$

次に、$f(0), f'(0), f''(0), f'''(0)$を計算します。

$f(0) = \log(\sqrt{a^2+0^2}-0) = \log(a)$

$f'(0) = -\frac{1}{\sqrt{a^2+0^2}} = -\frac{1}{a}$

$f''(0) = \frac{0}{(a^2+0^2)^{3/2}} = 0$

$f'''(0) = \frac{a^2-2(0)^2}{(a^2+0^2)^{5/2}} = \frac{a^2}{a^5} = \frac{1}{a^3}$

最後に、多項式 $f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を計算します。

$f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3 = \log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{1}{a^3 \cdot 6}x^3 = \log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{1}{6a^3}x^3$

3. 最終的な答え

$\log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{1}{6a^3}x^3$