正の定数 $a$ に対して関数 $f(x) = \log(\sqrt{a^2 + x^2} - x)$ が与えられています。$f(x)$ を微分し、多項式 $f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を求める問題です。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ に対して関数 $f(x) = \log(\sqrt{a^2 + x^2} - x)$ が与えられています。$f(x)$ を微分し、多項式 $f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。

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f(x) = \log(\sqrt{a^2 + x^2} - x)

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$f'(x)$ を求めます。

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f'(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2} - x} \cdot \left(\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - 1\right)

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f'(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2} - x} \cdot \frac{x - \sqrt{a^2 + x^2}}{\sqrt{a^2 + x^2}}

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f'(x) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2} - x} \cdot \frac{-(\sqrt{a^2 + x^2} - x)}{\sqrt{a^2 + x^2}}

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f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}

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$f''(x)$ を求めます。

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f''(x) = - \left( -\frac{1}{2} (a^2 + x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2x \right)

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f''(x) = \frac{x}{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}}}

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$f'''(x)$ を求めます。

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f'''(x) = \frac{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}} - x \cdot \frac{3}{2} (a^2 + x^2)^{\frac{1}{2}} \cdot 2x}{(a^2 + x^2)^3}

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f'''(x) = \frac{(a^2 + x^2)^{\frac{3}{2}} - 3x^2 (a^2 + x^2)^{\frac{1}{2}}}{(a^2 + x^2)^3}

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f'''(x) = \frac{(a^2 + x^2)^{\frac{1}{2}} (a^2 + x^2 - 3x^2)}{(a^2 + x^2)^3}

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f'''(x) = \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2 + x^2)^{\frac{5}{2}}}

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次に、$f(0)$, $f'(0)$, $f''(0)$, $f'''(0)$ を計算します。

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f(0) = \log(\sqrt{a^2} - 0) = \log(a)

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f'(0) = -\frac{1}{\sqrt{a^2}} = -\frac{1}{a}

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f''(0) = \frac{0}{(a^2)^{\frac{3}{2}}} = 0

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f'''(0) = \frac{a^2}{(a^2)^{\frac{5}{2}}} = \frac{a^2}{a^5} = \frac{1}{a^3}

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最後に、多項式 $f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ を計算します。

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\log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{0}{2}x^2 + \frac{1}{6a^3}x^3 = \log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{1}{6a^3}x^3

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3. 最終的な答え

$\log(a) - \frac{1}{a}x + \frac{1}{6a^3}x^3$