$2\sin\theta = -\sqrt{2}$ を満たす $\theta$ を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲が指定されていないため、一般解を求めます。

1. 問題の内容

$2\sin\theta = -\sqrt{2}$ を満たす $\theta$ を求める問題です。ただし、$\theta$ の範囲が指定されていないため、一般解を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $\sin\theta$ について解きます。

$2\sin\theta = -\sqrt{2}$

両辺を2で割ります。

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ を考えます。単位円上で $y$ 座標が $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる角度を探します。

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ は $-1 < -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$ なので、第3象限と第4象限に解が存在します。

$\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \frac{7\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ と $\theta = \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ （$n$ は整数）が解となります。

$\frac{7\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$ であり、$\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4}$ です。

また、$\frac{5\pi}{4}$ と $\frac{7\pi}{4}$ は$\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ だけ異なっているため、

$\theta = \frac{5\pi}{4} + n \pi$と表すこともできます。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$ または $\theta = \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ （$n$ は整数）

もしくは、$\theta = \frac{5\pi}{4} + n\pi$ (nは整数)