以下の2つの関数について、指定された極限における無限小または無限大の位数を求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{x^2}{\log(1+x^2) + 2\cos x - 2}$ ($x \to 0$) (2) $g(x) = \frac{\log(1+x) - \log x}{\log(1+x^3) - 3\log x}$ ($x \to \infty$)

1. 問題の内容

以下の2つの関数について、指定された極限における無限小または無限大の位数を求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{x^2}{\log(1+x^2) + 2\cos x - 2}$ ($x \to 0$)

(2) $g(x) = \frac{\log(1+x) - \log x}{\log(1+x^3) - 3\log x}$ ($x \to \infty$)

2. 解き方の手順

(1) $x \to 0$ のとき、$\log(1+x^2)$ と $\cos x$ をテイラー展開します。

$\log(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

したがって、

$\log(1+x^2) + 2\cos x - 2 = x^2 - \frac{x^4}{2} + 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) - 2 + O(x^6) = x^2 - x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^4}{12} + O(x^6) = -\frac{5}{12}x^4 + O(x^6)$

よって、$f(x) = \frac{x^2}{-\frac{5}{12}x^4 + O(x^6)} \approx -\frac{12}{5x^2}$. これは $x \to 0$ で無限大に発散し、位数は2です。

(2) $x \to \infty$ のとき、

$\log(1+x) - \log x = \log(\frac{1+x}{x}) = \log(1 + \frac{1}{x}) \sim \frac{1}{x}$

$\log(1+x^3) - 3\log x = \log(1+x^3) - \log(x^3) = \log(\frac{1+x^3}{x^3}) = \log(1 + \frac{1}{x^3}) \sim \frac{1}{x^3}$

したがって、$g(x) = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^3}} = x^2$. これは $x \to \infty$ で無限大に発散し、位数は2です。

3. 最終的な答え

(1) 無限大の位数は2

(2) 無限大の位数は2