曲線 $y = \frac{1}{x}$ ($x > 0$) 上に2点 $A(a, \frac{1}{a})$, $B(b, \frac{1}{b})$ がある。ただし、$0 < a < b$ とする。 (1) $a < t < b$ を満たす実数 $t$ に対して点 $T(t, \frac{1}{t})$ をとり、三角形 $ATB$ の面積を $f(t)$ で表す。関数 $f(t)$ ($a < t < b$) の最大値を $M$ とするとき、$f(t) = M$ を満たす $t$ を $a$, $b$ を用いて表せ。 (2) $a=1$, $b=2$ のとき、(1)で求めた $f(t)$ の最大値 $M$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x}$ ($x > 0$) 上に2点 $A(a, \frac{1}{a})$, $B(b, \frac{1}{b})$ がある。ただし、$0 < a < b$ とする。

(1) $a < t < b$ を満たす実数 $t$ に対して点 $T(t, \frac{1}{t})$ をとり、三角形 $ATB$ の面積を $f(t)$ で表す。関数 $f(t)$ ($a < t < b$) の最大値を $M$ とするとき、$f(t) = M$ を満たす $t$ を $a$, $b$ を用いて表せ。

(2) $a=1$, $b=2$ のとき、(1)で求めた $f(t)$ の最大値 $M$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角形 $ATB$ の面積 $f(t)$ を求める。

$f(t) = \frac{1}{2} |(a-\frac{1}{t}) - (t - \frac{1}{a}) (b - a)|$を展開すると、

$f(t) = \frac{1}{2} |a(\frac{1}{b} - \frac{1}{t}) + b(\frac{1}{t} - \frac{1}{a}) + t(\frac{1}{a} - \frac{1}{b})|$

$f(t) = \frac{1}{2} | \frac{a}{b} - \frac{a}{t} + \frac{b}{t} - \frac{b}{a} + \frac{t}{a} - \frac{t}{b}|$

$f(t) = \frac{1}{2} | \frac{a}{b} - \frac{b}{a} + t(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) + \frac{1}{t}(b-a) |$

$f(t) = \frac{1}{2} | \frac{a^2 - b^2}{ab} + t \frac{b-a}{ab} + \frac{b-a}{t} |$

$f(t) = \frac{1}{2} |\frac{(b-a)}{ab} (-a-b+t+\frac{ab}{t})|$

$f(t) = \frac{b-a}{2ab} |t + \frac{ab}{t} - (a+b)|$

$g(t) = t+\frac{ab}{t}$とする。 $a < t < b$ のとき、相加相乗平均の関係より、$t + \frac{ab}{t} \geq 2\sqrt{ab}$.

等号成立は $t = \frac{ab}{t}$ つまり $t = \sqrt{ab}$ のとき。

$t = \sqrt{ab}$ が $a<t<b$ を満たすので、$f(t)$ が最大となるのは $t = \sqrt{ab}$ のとき。

$f(t)$ の最大値は、

$f(\sqrt{ab}) = \frac{b-a}{2ab} |2\sqrt{ab} - (a+b)| = \frac{b-a}{2ab} (a+b - 2\sqrt{ab}) = \frac{b-a}{2ab}(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = \frac{(b-a)}{2ab} (\sqrt{b} - \sqrt{a})^2 = \frac{(\sqrt{b} - \sqrt{a})^2 (\sqrt{b} + \sqrt{a})^2}{2ab} = \frac{(b-a)^3}{2ab}$

$f(t)$ が最大となるのは $t = \sqrt{ab}$ のとき。

(2)

$a=1, b=2$ のとき、$t = \sqrt{1 \times 2} = \sqrt{2}$.

$f(\sqrt{2}) = \frac{(2-1)^2 (\sqrt{2} + 1)}{2} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2} = \frac{1}{2}(2-2\sqrt{2}+1) = \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$.

$M = \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $t = \sqrt{ab}$

(2) $M = \frac{3-2\sqrt{2}}{2}$