次の3つの不定積分を求めます。 (1) $\int \log(3x) \, dx$ (2) $\int x \log(x) \, dx$ (3) $\int \log(x+1) \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求めます。

(1) $\int \log(3x) \, dx$

(2) $\int x \log(x) \, dx$

(3) $\int \log(x+1) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \log(3x) \, dx$

$\log(3x) = \log(3) + \log(x)$ なので、

$\int \log(3x) \, dx = \int (\log(3) + \log(x)) \, dx = \int \log(3) \, dx + \int \log(x) \, dx$

$\int \log(3) \, dx = x \log(3)$ です。

$\int \log(x) \, dx$ は部分積分で計算します。

$u = \log(x)$, $dv = dx$ とすると、 $du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(x) \, dx = x \log(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log(x) - \int 1 \, dx = x \log(x) - x$

したがって、$\int \log(3x) \, dx = x \log(3) + x \log(x) - x = x(\log(3) + \log(x) - 1) = x \log(3x) - x + C$

(2) $\int x \log(x) \, dx$

部分積分で計算します。

$u = \log(x)$, $dv = x \, dx$ とすると、 $du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \log(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log(x) - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log(x) - \frac{x^2}{4} + C$

(3) $\int \log(x+1) \, dx$

部分積分で計算します。

$u = \log(x+1)$, $dv = dx$ とすると、 $du = \frac{1}{x+1} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(x+1) \, dx = x \log(x+1) - \int \frac{x}{x+1} \, dx = x \log(x+1) - \int \frac{x+1-1}{x+1} \, dx = x \log(x+1) - \int (1 - \frac{1}{x+1}) \, dx = x \log(x+1) - (x - \log(x+1)) + C = x \log(x+1) - x + \log(x+1) + C = (x+1) \log(x+1) - x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \log(3x) \, dx = x \log(3x) - x + C$

(2) $\int x \log(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \log(x) - \frac{x^2}{4} + C$

(3) $\int \log(x+1) \, dx = (x+1) \log(x+1) - x + C$