関数 $y = \frac{x}{\sqrt{(a^2 + x^2)^3}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{\sqrt{(a^2 + x^2)^3}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数を次のように書き換えます。

$y = \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$

次に、商の微分公式を用います。商の微分公式は、$\frac{u}{v}$の微分が$\frac{u'v - uv'}{v^2}$となるというものです。

ここで、$u = x$、$v = (a^2 + x^2)^{3/2}$ とします。

すると、$u' = 1$ です。

$v$ の微分は連鎖律を用いて計算します。$v' = \frac{3}{2}(a^2 + x^2)^{1/2}(2x) = 3x(a^2 + x^2)^{1/2}$

したがって、

$y' = \frac{(1)(a^2 + x^2)^{3/2} - (x)(3x(a^2 + x^2)^{1/2})}{((a^2 + x^2)^{3/2})^2}$

$y' = \frac{(a^2 + x^2)^{3/2} - 3x^2(a^2 + x^2)^{1/2}}{(a^2 + x^2)^3}$

$(a^2 + x^2)^{1/2}$で分子をくくりだします。

$y' = \frac{(a^2 + x^2)^{1/2}((a^2 + x^2) - 3x^2)}{(a^2 + x^2)^3}$

$y' = \frac{a^2 + x^2 - 3x^2}{(a^2 + x^2)^{5/2}}$

$y' = \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2 + x^2)^{5/2}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{a^2 - 2x^2}{(a^2 + x^2)^{5/2}}$