関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ の $x=0$ における値 $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の $n$ 階導関数 $f^{(n)}(x)$ の $x=0$ における値 $f^{(n)}(0)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ をマクローリン展開（原点におけるテイラー展開）することで $f^{(n)}(0)$ を求める。

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = (1-x^2)^{-1/2}$ と書ける。

$(1+x)^\alpha$ のマクローリン展開は、

$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots$

である。

したがって、

$(1-x^2)^{-1/2} = 1 + (-\frac{1}{2})(-x^2) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!} (-x^2)^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{3!} (-x^2)^3 + \dots$

$= 1 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1 \cdot 3}{2^2 \cdot 2!} x^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2^3 \cdot 3!} x^6 + \dots$

$= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} x^{2k}$

ここで、二重階乗 $(2k-1)!!$ は 1 から $2k-1$ までの奇数の積であり、$(2k)!!$ は 2 から $2k$ までの偶数の積である。

$f(x)$ のマクローリン展開を $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ とすると、

$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} x^{2k} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

$n$ が奇数のとき、$x^n$ の項は存在しないので、$f^{(n)}(0) = 0$ である。

$n = 2k$ のとき、

$\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} = \frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}$

$f^{(2k)}(0) = (2k)! \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} = (2k)! \frac{(2k-1)!!}{2^k k!} = (2k-1)!! \frac{(2k)!}{2^k k!}$

$f^{(2k)}(0) = (2k)! \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2k-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2k)} = \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} (2k)!$

あるいは

$f^{(2k)}(0) = (1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2k-1)) = \frac{(2k)!}{2^k k!}$

$n$ が奇数ならば $f^{(n)}(0) = 0$

$n$ が偶数 $n=2k$ ならば $f^{(n)}(0) = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac{n!}{2^{n/2} (n/2)!}$

3. 最終的な答え

$n$ が奇数のとき、$f^{(n)}(0) = 0$

$n$ が偶数のとき、$f^{(n)}(0) = \frac{n!}{2^{n/2} (n/2)!}$

別の表現としては、

$f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0 & \text{if } n \text{ is odd} \\ \frac{n!}{2^{n/2} (n/2)!} & \text{if } n \text{ is even} \end{cases}$

あるいは、

$f^{(n)}(0) = \begin{cases} 0 & \text{if } n \text{ is odd} \\ (n-1)!! & \text{if } n \text{ is even} \end{cases}$