曲線 $y = \log(x+e)$ に接し、傾きが $e$ である直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = \log(x+e)$ に接し、傾きが $e$ である直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線の導関数を求める。

$y = \log(x+e)$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+e}$

接線の傾きが $e$ であるから、

$\frac{1}{x+e} = e$

$x+e = \frac{1}{e}$

$x = \frac{1}{e} - e$

このときの $y$ の値を求める。

$y = \log(\frac{1}{e} - e + e) = \log(\frac{1}{e}) = \log(e^{-1}) = -1$

よって、接点の座標は $(\frac{1}{e} - e, -1)$ である。

傾きが $e$ で、点 $(\frac{1}{e} - e, -1)$ を通る直線の式は、

$y - (-1) = e(x - (\frac{1}{e} - e))$

$y + 1 = e(x - \frac{1}{e} + e)$

$y + 1 = ex - 1 + e^2$

$y = ex + e^2 - 2$

3. 最終的な答え

$y = ex + e^2 - 2$