与えられた関数 $y$ の対数微分を求める問題です。関数 $y$ は以下のように定義されています。 $y = \frac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $y$ の対数微分を求める問題です。関数 $y$ は以下のように定義されています。

$y = \frac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3}$

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln \left( \frac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3} \right)$

対数の性質を用いて、右辺を分解します。

$\ln y = \ln(1+x)^3 + \ln(1-2x) - \ln(1-x) - \ln(1+2x)^3$

さらに、対数の性質 $\ln a^b = b\ln a$ を用いて、

$\ln y = 3\ln(1+x) + \ln(1-2x) - \ln(1-x) - 3\ln(1+2x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+x} + \frac{-2}{1-2x} - \frac{-1}{1-x} - \frac{3(2)}{1+2x}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+x} - \frac{2}{1-2x} + \frac{1}{1-x} - \frac{6}{1+2x}$

最後に、$y$ を右辺にかければ $\frac{dy}{dx}$ が求まります。

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{3}{1+x} - \frac{2}{1-2x} + \frac{1}{1-x} - \frac{6}{1+2x} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{(1+x)^3(1-2x)}{(1-x)(1+2x)^3} \left( \frac{3}{1+x} - \frac{2}{1-2x} + \frac{1}{1-x} - \frac{6}{1+2x} \right)$