数列 $\{a_n(x)\}$ が $a_n(x) = \frac{\sin^{2n+1}x + \cos^{2n+1}x}{\sin^{2n}x + \cos^{2n}x}$ ($0 \le x \le \pi$) で定義されるとき、$\lim_{n\to\infty} a_n(x) = A(x)$ とする。関数 $y=A(x)$ のグラフを描け。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n(x)\}$ が $a_n(x) = \frac{\sin^{2n+1}x + \cos^{2n+1}x}{\sin^{2n}x + \cos^{2n}x}$ ($0 \le x \le \pi$) で定義されるとき、$\lim_{n\to\infty} a_n(x) = A(x)$ とする。関数 $y=A(x)$ のグラフを描け。

2. 解き方の手順

まず、$\lim_{n \to \infty} a_n(x) = A(x)$ を計算します。

$0 \le x \le \pi$ で考える。

場合分けをして考えます。

(1) $0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき：

$\cos x \ne 0$ より $\cos^{2n} x$ で分子と分母を割ると、

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a_n(x) = \frac{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{2n+1} + 1}{\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{2n} + 1} \cdot \cos x = \frac{\tan^{2n+1} x + 1}{\tan^{2n} x + 1} \cos x

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$0 < x < \frac{\pi}{2}$ より $\tan x > 0$ 。

さらに、$\tan x > 1$ のときと、$\tan x < 1$ のときで場合分けする。

i) $0 < x < \frac{\pi}{4}$ のとき、 $0 < \tan x < 1$ より $\lim_{n \to \infty} \tan^{2n} x = 0$ なので、

$$$$

A(x) = \lim_{n \to \infty} a_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{2n+1} x + 1}{\tan^{2n} x + 1} \cos x = \frac{0+1}{0+1} \cos x = \cos x

$$$$

ii) $\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、 $\tan x > 1$ より $\lim_{n \to \infty} \tan^{2n} x = \infty$ なので、

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A(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan^{2n+1} x + 1}{\tan^{2n} x + 1} \cos x = \lim_{n \to \infty} \frac{\tan x + \frac{1}{\tan^{2n} x}}{1 + \frac{1}{\tan^{2n} x}} \cos x = \tan x \cos x = \sin x

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(2) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき：

$\sin x \ne 0$ より $\sin^{2n} x$ で分子と分母を割ると、

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a_n(x) = \frac{\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{2n+1} + 1}{\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{2n} + 1} \cdot \sin x = \frac{\cot^{2n+1} x + 1}{\cot^{2n} x + 1} \sin x

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$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ より $\cot x < 0$ 。

i) $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$ のとき、$-1 < \cot x < 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} \cot^{2n} x = 0$ なので、

$$$$

A(x) = \lim_{n \to \infty} a_n(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\cot^{2n+1} x + 1}{\cot^{2n} x + 1} \sin x = \frac{0+1}{0+1} \sin x = \sin x

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ii) $\frac{3\pi}{4} < x < \pi$ のとき、$\cot x < -1$ なので、$\lim_{n \to \infty} \cot^{2n} x = \infty$ なので、

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A(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\cot^{2n+1} x + 1}{\cot^{2n} x + 1} \sin x = \lim_{n \to \infty} \frac{\cot x + \frac{1}{\cot^{2n} x}}{1 + \frac{1}{\cot^{2n} x}} \sin x = \cot x \sin x = \cos x

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(3) $x=0$ のとき：

$a_n(0) = \frac{0^{2n+1} + 1^{2n+1}}{0^{2n} + 1^{2n}} = \frac{0+1}{0+1} = 1$

よって、 $A(0) = 1$ 。

(4) $x = \frac{\pi}{4}$ のとき：

$a_n(\frac{\pi}{4}) = \frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n+1} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n+1}}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n}} = \frac{2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n+1}}{2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、 $A(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

(5) $x = \frac{\pi}{2}$ のとき：

$a_n(\frac{\pi}{2}) = \frac{1^{2n+1} + 0^{2n+1}}{1^{2n} + 0^{2n}} = \frac{1}{1} = 1$

よって、 $A(\frac{\pi}{2}) = 1$ 。

(6) $x = \frac{3\pi}{4}$ のとき：

$a_n(\frac{3\pi}{4}) = \frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n+1} + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n+1}}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n} + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n}} = \frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n+1} - (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n+1}}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n} + (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n}} = \frac{0}{2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n}} = 0$

よって、 $A(\frac{3\pi}{4}) = 0$ 。

(7) $x = \pi$ のとき：

$a_n(\pi) = \frac{0^{2n+1} + (-1)^{2n+1}}{0^{2n} + (-1)^{2n}} = \frac{0-1}{0+1} = -1$

よって、 $A(\pi) = -1$ 。

まとめると、

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A(x) = \begin{cases}

\cos x & 0 \le x \le \frac{\pi}{4} \\

\sin x & \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4} \\

\cos x & \frac{3\pi}{4} \le x \le \pi

\end{cases}

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グラフは、

$0 \le x \le \frac{\pi}{4}$ では $y = \cos x$ 、

$\frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4}$ では $y = \sin x$ 、

$\frac{3\pi}{4} \le x \le \pi$ では $y = \cos x$ 。

3. 最終的な答え

$A(x) = \begin{cases}

\cos x & 0 \le x \le \frac{\pi}{4} \\

\sin x & \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{3\pi}{4} \\

\cos x & \frac{3\pi}{4} \le x \le \pi

\end{cases}$

グラフは上記。