以下の2つの不定積分を計算します。 (2) $\int x^{\frac{3}{5}} dx$ (5) $\int t \sqrt{t} dt$

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の2つの不定積分を計算します。

(2) $\int x^{\frac{3}{5}} dx$

(5) $\int t \sqrt{t} dt$

2. 解き方の手順

(2) $\int x^{\frac{3}{5}} dx$

ベキ関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし $n \neq -1$）を利用します。

この場合、$n = \frac{3}{5}$ なので、$n+1 = \frac{3}{5} + 1 = \frac{8}{5}$ となります。

したがって、

$\int x^{\frac{3}{5}} dx = \frac{x^{\frac{8}{5}}}{\frac{8}{5}} + C = \frac{5}{8}x^{\frac{8}{5}} + C$

(5) $\int t \sqrt{t} dt$

まず、被積分関数を整理します。$\sqrt{t} = t^{\frac{1}{2}}$ であるから、

$t \sqrt{t} = t \cdot t^{\frac{1}{2}} = t^{\frac{3}{2}}$

したがって、

$\int t \sqrt{t} dt = \int t^{\frac{3}{2}} dt$

ベキ関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ （ただし $n \neq -1$）を利用します。

この場合、$n = \frac{3}{2}$ なので、$n+1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ となります。

したがって、

$\int t^{\frac{3}{2}} dt = \frac{t^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}} + C$

3. 最終的な答え

(2) $\int x^{\frac{3}{5}} dx = \frac{5}{8}x^{\frac{8}{5}} + C$

(5) $\int t \sqrt{t} dt = \frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}} + C$