与えられた関数を微分する問題です。具体的には、 (1) $y = \sqrt[8]{x}$ (2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$ (3) $y = x^2\sqrt{x}$ (4) $y = \sqrt[3]{x^2+2x+3}$ (5) $y = \sqrt[4]{(1-2x)^3}$ (6) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+3}}$ の6つの関数をそれぞれ微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。具体的には、

(1) $y = \sqrt[8]{x}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$

(3) $y = x^2\sqrt{x}$

(4) $y = \sqrt[3]{x^2+2x+3}$

(5) $y = \sqrt[4]{(1-2x)^3}$

(6) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+3}}$

の6つの関数をそれぞれ微分します。

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{8}}$を微分します。

指数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8}x^{\frac{1}{8}-1} = \frac{1}{8}x^{-\frac{7}{8}} = \frac{1}{8\sqrt[8]{x^7}}$

(2) $y = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}} = x^{-\frac{3}{4}}$を微分します。

指数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{4}-1} = -\frac{3}{4}x^{-\frac{7}{4}} = -\frac{3}{4\sqrt[4]{x^7}}$

(3) $y = x^2\sqrt{x} = x^2 x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$を微分します。

指数の微分公式 $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$

(4) $y = \sqrt[3]{x^2+2x+3} = (x^2+2x+3)^{\frac{1}{3}}$を微分します。

合成関数の微分 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3}(x^2+2x+3)^{-\frac{2}{3}}(2x+2) = \frac{2x+2}{3\sqrt[3]{(x^2+2x+3)^2}}$

(5) $y = \sqrt[4]{(1-2x)^3} = (1-2x)^{\frac{3}{4}}$を微分します。

合成関数の微分 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}(1-2x)^{\frac{3}{4}-1}(-2) = -\frac{3}{2}(1-2x)^{-\frac{1}{4}} = -\frac{3}{2\sqrt[4]{1-2x}}$

(6) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+3}} = (x^2+3)^{-\frac{1}{2}}$を微分します。

合成関数の微分 $\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)$ を用います。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2+3)^{-\frac{3}{2}}(2x) = -x(x^2+3)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{x}{\sqrt{(x^2+3)^3}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8\sqrt[8]{x^7}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4\sqrt[4]{x^7}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+2}{3\sqrt[3]{(x^2+2x+3)^2}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2\sqrt[4]{1-2x}}$

(6) $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{(x^2+3)^3}}$