関数 $y = x \sin x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = x \sin x$ の $n$ 次導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

ライプニッツの公式を利用します。

ライプニッツの公式とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 次導関数について、以下の式が成り立つというものです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、${}_n C_k$ は二項係数を表します。

$u(x) = x$、 $v(x) = \sin x$ とおくと、

$u'(x) = 1$、 $u''(x) = 0$ 以降の導関数は全て 0 となります。

$v'(x) = \cos x = \sin (x + \frac{\pi}{2})$

$v''(x) = -\sin x = \sin (x + 2\frac{\pi}{2})$

$v'''(x) = -\cos x = \sin (x + 3\frac{\pi}{2})$

一般に、 $v^{(k)}(x) = \sin (x + k \frac{\pi}{2})$ となります。

ライプニッツの公式に当てはめると、

$y^{(n)} = (x \sin x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k x^{(n-k)} (\sin x)^{(k)}$

$= {}_n C_0 x^{(n)} (\sin x)^{(0)} + {}_n C_1 x^{(n-1)} (\sin x)^{(1)} + \sum_{k=2}^{n} {}_n C_k x^{(n-k)} (\sin x)^{(k)}$

$u(x)=x$ なので、$x$ の微分は1回までしか残りません。つまり，$x^{(n-k)}$ は，$n-k=0, 1$の時のみ $0$ にならないので，k=nとk=n-1の場合を考えればよいです。

$y^{(n)} = {}_n C_{n-1} u' v^{(n-1)} + {}_n C_n u v^{(n)} = n \cdot 1 \cdot \sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2}) + 1 \cdot x \cdot \sin(x + n\frac{\pi}{2})$

$y^{(n)} = n \sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2}) + x \sin(x + n\frac{\pi}{2})$

$\sin(x + (n-1)\frac{\pi}{2}) = \sin(x + n\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = \sin(x + n\frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) - \cos(x + n\frac{\pi}{2}) \sin(\frac{\pi}{2}) = -\cos(x + n\frac{\pi}{2})$

したがって，

$y^{(n)} = -n \cos(x + n\frac{\pi}{2}) + x \sin(x + n\frac{\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$y^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) - n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$